拉格朗日中值定理在解析几何中的应用.pdf

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1、数学教学通讯(下旬)试题研究>知识延伸拉格朗日中值定理在解析几何中的应用陈艳安徽安庆市第一中学246003[摘要]以高等数学为背景的高考命题成为热点，许多省市高考试卷有关导数的题目往往可以用拉格朗日中值定理解决，此外，拉格朗日中值定理在解析几何中也有巧妙的应用，如应用拉格朗日中值定理及两个推论的方法对高考中一些不同类型的圆锥曲线试题进行研究．[关键词]拉格朗日中值定理；高考题；解题规律近几年，以I等数学为背的高号引理：2，已知(¨，)垃椭t：：I中，两边对求导有+：0，把命题成为热点．许多肯市考试卷打火l’trb一I+÷=1(

2、>0)上的定点，，，(，址椭导数的题Elf㈠J‘以J{J{格别¨tfI“D_()4k~；f：2x【1十一2)gy：()l：的个动点．如果直线4P‘4()顺斜，解得定列解决，II-L外，批朗Ftl}】fff定饼析几f【l』中也“』fJ~,"O,'jsSjff1．本殳将通，角补，IJ!IJ线，的斜率为、=．过一些小同J的锥『f}I线问题，利川订一1“I1(’批格朗}{中f『(定晰答，并与f1学数学当，)(．Y．，)，(172~))两点不同时在的解法做比较，体现商观点解题的优}ll／函数i()=：]12X或)=点，并由此探索发脱·些

3、美妙的律．．．托格自J】¨·t定婵：荇数，’()满一一上时，将：+=l看成关于如下条件：、的多值函数，拉格朗日中值定理一样成(Ij)f'tI

4、f】l“，6]』二连续；(II)八)：Sf：【×I'HJ(b)内【Ij‘．圈2立．在+I：I中，两边对求导有+“D—n!J!lj(“，b)内少仔在一点，使得解析：由题意kvf(，，(．)。)0，把^，(XO~-),I)代入有：2xo+：‘，，If)：b-(I两点同时在函数厂()=、／6：一或／()=0，解得：一b2．1：批格朗⋯1l】fI定的儿何意义：函、一、／，，rJ1上，一’数y-J

5、I)在f=)(=问[6：的罔形址连续光滑fll1线，弧／IBI少有一点尸，ItlI线且函教／I)在闭区间【1上连续因此，直线尸O‘的斜率为定值”．“，的切线平ir恢，1．f』几{纠1，Ji且单例，在开区rq(．，。)内可导，则在初等解法：因为直线4，’与．4D的倾、J(t，X2)内有且只有一点f，使得／’()=斜角互补，所以直线1P的斜率与．4Q的~'-Y2——．当，，，(J两点无限趋近时，直线P斜率互为相反数．设直线tP的方程为一1—2／与Q的倾斜角都~f-90。，故直线A(一())+．h)，j巴．，=(—，)+)．代八：十

6、y-=fJfl∈l【r1)‘的斜率就等于过点关于轴的对称点I得：，1(‰，一Vii)的切线斜率，故=在X-+图1．(+“)一(2a2／；eXi,-2

7、Zxo-2；a2kyo，解得-=__2因此，直线PQ的斜率为定值一．22a2kxo-2akyo-b2xoWyo．．——÷，即直线聃斜率为定值．6+a2k2’证法3：初等解法(略)．PffvXy~：—-2a2k：yo-2a2kxo推论3：已知A(Y~OYo)是抛物线=例2(2004~京高考数学理)如图一l_b+，zPx(p>O)上的定点，P，Q是抛物线上的3，过抛物线=(p>0)上一定点P(x。，所以—a2k2xo+2a2kyo-b2xo两个动点，如果直线AP-~AQ倾斜角互Yo)(yo>O)，作两条直线分别交抛物线于=，A(1

8、，Y1)，B(x2，)．补，则直线尸Q的斜率为定值一P．-2a2k2yo+2b2kxo—一yo，Yo(1)求该抛物线上纵坐标为的点证法1：由拉格朗日中值定理知：所以=-4b2kxo到其焦点朋勺距离：=3x。E(，xQ)使I=对方程=aWn．1—’一斗口。(2)当与I的斜率存在且倾斜角2px~N时求导得：2yy'=2p，把A(‰-'Yo)因此，直线的斜率为定值．互补时，求丛的值，并证明直线A日的a'yo代入有：一2yoY2p，解得=一旦．Yo推论1：已知A(‰，y0)是圆+=r2上斜率是非零常数．的定点，P，Q是圆上的两个动点，

9、如果直因此，直线尸Q的斜率为定值一旦．YYo线AP-~AQ倾斜角互补，则直线PQ的斜证法2：设直线AP的方程为y=(—率为定值．．o)把y=(o)y0代入)，=zP得：YoO；证法1：由引理，令a=b，椭圆就变成一0+y0=0．了圆，可得直线PQ的斜率为定值．设P(，Y。)，