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《茆诗松概率论与数理统计教程课件第三章1.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第三章多维随机变量及其分布在第二章,我们讨论了一个随机变量的情况.在许多实际问题中,对于随机试验的结果仅用一个随机变量来描述是不够的,需要同时考虑两个或两个以上的随机变量.(1)调查炮弹落地点的位置时,须同时由平面上横坐标X和纵坐标Y这两个随机变量来确定;例如:(2)研究某地区儿童的身体素质时,对这一地区的儿童进行抽查,须同时考察其身高X1,体重X2,心肺功能X3,以及视力X4等多个随机变量.显然此时,我们必须必须把这些随机变量作为一个整体(即向量)来研究.我们称由同一样本空间的n个随机变量X1,X2,…,Xn构成的整体X=(X1,X2,
2、…,Xn)为n维随机变量或n维随机向量.一维随机向量就是我们第二章所讲的随机变量.第一节多维随机变量及其联合分布1.多维随机变量的联合分布2.常用的多维随机变量多维随机变量的概率分布该怎么描述呢?类似于一维随机变量,我们可以统一用分布函数来研究;然后,对于离散和连续两种情形下的多维随机变量,我们可以用分布列和密度函数来分别研究.1.多维随机变量的联合分布定义:为简明起见,本章则主要讨论二维随机变量,二维以上的随机变量可类似地进行.定义:(X,Y)取值就相当于在平面内取值,所以F(x,y)就是随机向量(X,Y)落在以(x,y)为顶点的左下方
3、无穷矩形区域内的概率,见下面阴影部分.分布函数F(x,y)具有下列基本性质:注意:二维随机向量的分类:离散型和连续型定义若二维随机向量(X,Y)的可能取值(x,y)是有限个或可列无穷个,则称(X,Y)是二维离散型随机向量.设随机向量(X,Y)的所有可能值为(xi,yj),i,j=1,2,…,则为随机向量(X,Y)的联合分布列.或更加直观的,(X,Y)的联合分布列也可用二向表来表示XYy1y2…ynx1p11p12…p1nx2p21p22…p2n……………xnpn1pn2…pnn分布律pij的两条基本性质:例一.连续抛一枚硬币三次,定义X是
4、获得的正面的次数,Y是三次中正面向上的次数与反面向上的次数差的绝对值.试求(X,Y)的分布律.解:(X,Y)取值情况为样本点HHHHHTHTHTHHTTHTHTHTTTTT(X,Y)(3,3)(2,1)(2,1)(2,1)(1,1)(1,1)(1,1)(0,3)所以(X,Y)的分布律为或更加直观的,(X,Y)的分布律可用下表表示XY13001/813/8023/80301/8例二.从分别标有号码1,2,2,3,3,4的6个球中任取三个球,X,Y分别表示其中的最小号码与最大号码.求:(1)(X,Y)的分布律;(2)P(X+Y>5);(3)分
5、布函数值F(1,3).解:(1)X的可能值为1,2,3;Y的可能值为2,3,4.但(X,Y)的可能取值为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).根据古典法求概率:所以,(X,Y)的分布律为XY23411/201/41/5201/51/43001/20定义:对二维随机向量(X,Y)的分布函数为F(x,y),如果存在非负可积二元函数p(x,y),使得对任意(x,y),有则称(X,Y)为二维连续随机变量,称p(x,y)为(X,Y)的联合密度函数.联合密度函数p(x,y)具有下列基本性质:这条性质表明:密度函数p(
6、x,y)与xy平面之间的体积等于1.一般地,设G是XY平面上的任一区域,则即(X,Y)落在区域G中的概率等于p(x,y)在G上的二重积分,也就是以G为底面,p(x,y)为顶面的柱体体积.类似于一维情形,因此,p(x,y)反映了(X,Y)落在(x,y)附近的概率的大小.例三.设连续型随机向量(X,Y)具有概率密度解:(3)首先在平面上画出区域G:X+Y≤1.2.常用多维随机变量多项分布多维超几何分布多维均匀分布二维正态分布多项分布(MultinomialDistribution)多项分布的适用情形.进行n重独立的试验,每次试验有r种可能的结
7、果:A1,A2,…,Ar,且每个结果发生的概率为pi=P(Ai).记Xi是在这n次试验里Ai的次数,多维随机变量(X1,X2,…,Xr)称为多项分布的变量,(X1,X2,…,Xr)的概率分布称为多项分布,记为M(n,p1,p2,…,pr)多项分布的分布列从二项分布的分布列的求法,不难推出例四，袋中有N个球,其中a个红球,b个白球,c个黑球(a+b+c=N),现每次从袋中取一球,放回式的抽样,共取n球.设X,Y分别是n球中红球和白球的个数,求(X,Y)的联合分布列.每取一球相当于一次试验,有三种可能结果:红球,白球,黑球,而且在每次试验中,
8、由于是放回式抽样,各个结果出现的概率是定值.再令Z代表黑球的数目,则根据多项分布的定义,注意:本题中,放回式抽样是保证(X,Y,Z)是多项分布的关键;当采用非放回是抽样时,(X,Y,Z)不再是
