高等数学课件D12_5全微分方程.ppt

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1、全微分方程机动目录上页下页返回结束第五节一、全微分方程二、积分因子法第十二章9/30/2021高等数学课件判别:P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数,①为全微分方程则求解步骤:方法1凑微分法;方法2利用积分与路径无关的条件.1.求原函数u(x,y)2.由du=0知通解为u(x,y)=C.一、全微分方程则称为全微分方程(又叫做恰当方程).①机动目录上页下页返回结束9/30/2021高等数学课件例1.求解解:因为故这是全微分方程.则有因此方程的通解为机动目录上页下页返回结束9/30/2021高等数学课件例2.求解解:∴这是

2、一个全微分方程.用凑微分法求通解.将方程改写为即故原方程的通解为或机动目录上页下页返回结束9/30/2021高等数学课件二、积分因子法思考:如何解方程这不是一个全微分方程,就化成例2的方程.使为全微分方程,在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘若存在连续可微函数积分因子.例2目录上页下页返回结束9/30/2021高等数学课件常用微分倒推公式:积分因子不一定唯一.例如,对可取机动目录上页下页返回结束9/30/2021高等数学课件例3.求解解:分项组合得即选择积分因子同乘方程两边

3、,得即因此通解为即因x=0也是方程的解,故C为任意常数.机动目录上页下页返回结束9/30/2021高等数学课件作业P2851(2),(4),(7);2(2),(5);4习题课1目录上页下页返回结束9/30/2021高等数学课件备用题解方程解法1积分因子法.原方程变形为取积分因子故通解为此外,y=0也是方程的解.机动目录上页下页返回结束9/30/2021高等数学课件解法2化为齐次方程.原方程变形为积分得将代入,得通解此外,y=0也是方程的解.机动目录上页下页返回结束9/30/2021高等数学课件解法3化为线性方程.原方程变

4、形为其通解为即此外,y=0也是方程的解.机动目录上页下页返回结束9/30/2021高等数学课件