《量子力学》(专升本)练习题.doc

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1、《量子力学》练习题一一、基本概念及简答1.简述的物理意义及其实验基础。2．简述迭加原理。若，，的物理意义是什么？3．三维空间中运动的粒子,其波函数的方位角()部分=,求的平均值。4．设，A.若，是否的本征态一定是的本征态，举例说明。B.若，是否就一定无共同本征态，举例。C.若，是常数，是否能有共同本征态，证明你的结论。5、判定及是否厄迷算符。6、，，，试问，是否必然没有共同本征态，举例说明7、已知，为厄米算符，也为厄米算符的条件是什么？8、能否把看作自旋角动量算符的矩阵表示？9、哪个实验证实了电子具有自旋，怎样证实的；为什么不能把电子自旋看成电子的机械转动？10、对于全同性

2、粒子说来要满足那些基本方程？全同粒子的交换算符是可以对易的吗？它们能否有共同的本征态？11.波函数的导数是否一定要连续？举例说明。12.如果，且，都是束缚态，则13．什么是量子力学中的守恒量？其主要特征是什么？什么定态？定态主要特征是什么？14．已知，求证15．已知，为厄米算符，则也为厄米算符的条件是什么？16．若一个算符与角动量算符的两个分量对易，则其必与的另一个分量对易；17.设且已知以一维线性谐振子的能量本征值，本征函数，及的宇称为。试写出能量本征值及本征函数。18．在上的平均值为零，即19.(1).全同粒子交换算符是否对易?有无共同本征函数?(2).不考虑粒子间的相

3、互作用。有5个单粒子态，4个全同粒子。下列情况下，体系有多少可能的状态？A.粒子是全同玻色子;B.粒子是全同费米子;C.不考虑粒子的全同性.二、解决问题题1、质量为的粒子，在阱宽为的一维无限深势阱中运动，若时，体系处于态上，式中，，已经归一化，求：（1）时，的几率（2）时的波函数，能量的可能值与取值几率，证明你的结论（3）粒子处于基态，A．求粒子动量分布(只写出表达式即可)。B．当势阱突然变为时，求粒子仍处于基态的几率（只列公式，不必计算）2、考虑在无限深势阱（）中运动的两电子体系，略去电子间的相互作用以及一切与自旋有关的相互作用，求体系的基态和第一激发态的波函数和能量，并

4、指出这两个态的简并度。3、在本征态下，求证：（1）．（2）．(12’)计算，4．计算，设（1）．求的准确本征值。（2）．若，，求的近似到二级的本征值，并与准确解的结果进行比较。5.（20’）设(1)．（10’）求的准确本征值。(2)．（10’）若，，求的近似到二级的本征值，并与准确解的结果进行比较。6、设固定于的电子处于沿方向的均匀电磁场B中（不考虑空间运动），电子的内禀磁矩与磁场B作用为初始电子处于态求时刻电子状态。7.(10’)求的本征值和本证征函数。8．粒子在谐振子势场中运动，在能量表象中，时，其状态波函数为，求（1）能量平均值，可能值及相应的几率（2）求时刻的波函数

5、.9．粒子在位势的有心力场中作定态运动，证明在任何一具有一定轨道角动量的定态里，粒子的平均位置在原点。（提示，利用）10．，求：A．的准确本征值（10分）B．求的近似到二级的本征值（用微扰法）11．一维无限深的、宽为的势阱中含有三个电子，势，在温度，并忽略库仑相互作用近似下，三个电子的平均能量。问在同样近似下，在阱中若有四个电子时，其平均能量是多少？12、两个算符和的矩阵形式如下其中，为实常数。证明算符和相互对易，进而求出它们共同归一化的本征函数。13、质量为的粒子，在阱宽为的一维无限深势阱中运动，当时，粒子处于状态其中，为粒子的第个能量本征态。（1）求时能量的取值几率；（

6、2）求时的波函数；（3）求时能量的取值几率。14、在与的共同本征态下，与的平均值为零，且当时，测量与的不确定性之积为最小。（提示：用升降算符，）15、设（1）求的准确本征值。（2）若，，求的近似到二级的本征值，并与准确解的结果进行比较。16、线谐振子受到一个方向均匀电场的作用，求其能级。设该线谐振子的质量为、电荷为、角频率为。17、求算符在动量表象中的矩阵表示。18、设粒子在宽为的非对称的一维无限深势阱中运动，若粒子处于状态求粒子能量的可能取值与相应的取值几率。19、耦合谐振子的哈密顿算符为.（1）求其零级定态波函数的简并度。（2）试用微扰论求其第一激发态的能级与本征函数。

7、已知。20、对于一维运动，求算符的本征值和本征函数。21、设氢原子在时处于状态求其能量、角动量平方及角动量分量的取值几率和平均值；写出在时体系的波函数，并给出此时能量、角动量平方及角动量分量的取值几率与平均值。已知氢原子的本征解为22、已知算符满足，证明，并在表象中写出的矩阵表示。23、类氢原子中，电子与核的库仑相互作用能为，当核电荷由时（衰变），相互作用能增加了。()试用微扰论讨论体系的基态能量的一级修正；()计算结果与严格解比较。《量子力学》练习题二一、基本概念及简答1、在一个状态之中某一个量的平均值和它的本征