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1、2011信息安全数学基础习题答案第一章整数的可除性1．证明：因为2
2、n所以n=2k,kZ5
3、n所以5
4、2k，又（5，2）=1，所以5
5、k即k=5k1，k1Z7
6、n所以7
7、2*5k1,又（7，10）=1，所以7
8、k1即k1=7k2，k2Z所以n=2*5*7k2即n=70k2,k2Z因此70
9、n2．证明：因为a3-a=(a-1)a(a+1)当a=3k，kZ3
10、a则3
11、a3-a当a=3k-1，kZ3
12、a+1则3
13、a3-a当a=3k+1，kZ3
14、a-1则3
15、a3-a所以a3-a能被3整除。3．证明：任意
16、奇整数可表示为2k0+1，k0Z（2k0+1）2＝4k02+4k0+1=4k0(k0+1)+1由于k0与k0+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k0(k0+1)=2k所以（2k0+1）2=8k+1得证。4．证明：设三个连续整数为a-1,a,a+1则(a-1)a(a+1)=a3-a由第二题结论3
17、（a3-a）即3
18、(a-1)a(a+1)又三个连续整数中必有至少一个为偶数，则2
19、(a-1)a(a+1)又（3，2）=1所以6
20、(a-1)a(a+1)得证。5．证明：构造下列k个连续正整数列：(k+1)
21、！+2,(k+1)！+3,(k+1)！+4,……,(k+1)！+(k+1),kZ对数列中任一数(k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1],i=2,3,4,…(k+1)所以i
22、(k+1)！+i即(k+1)！+i为合数所以此k个连续正整数都是合数。6．证明：因为1911/2＜14,小于14的素数有2，3，5，7，11，13经验算都不能整除191所以191为素数。因为5471/2＜24,小于24的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23经验算都不能整除547所以5
23、47为素数。由737=11*67,747=3*249知737与747都为合数。8．解：存在。eg：a=6,b=2,c=910．证明：p1p2p3
24、n，则n=p1p2p3k，kN+又p1≤p2≤p3，所以n=p1p2p3k≥p13即p13≤n1/3p1为素数则p1≥2，又p1≤p2≤p3，所以n=p1p2p3k≥2p2p3≥2p22即p2≤(n/2)1/2得证。11．解：小于等于5001/2的所有素数为2，3，5，7，11，13，17，19，依次删除这些素数的倍数可得所求素数：12．证明：反证法假
25、设3k+1没有相同形式的素因数，则它一定只能表示成若干形如3k-1的素数相乘。(3k1+1)(3k2+1)=[(3k1+1)k2+k1]*3+1显然若干个3k+1的素数相乘，得到的还是3k+1的形式，不能得出3k-1的数，因此假设不成立，结论得证。同理可证其他。13．证明：反证法假设形如4k+3的素数只有有限个，记为p1,p2,…,pn因为4k+3=4k`-1=4k-1构造N=4*p1*p2*…*pn-1≥3*p1*p2*…*pn所以N＞pi(i=1,2,…,n)N为4k-1形式的素数，即为4k
26、+3的形式，所以假设不成立。原结论正确，形如4k+3的素数有无穷多个。28．（1）解：85=1*55+3055=1*30+2530=1*25+525=5*5所以(55,85)=5（2）解：282=1*202+80202=2*80+4280=1*42+3842=1*38+438=9*4+24=2*2所以（202,282）=229．（1）解：2t+1=1*(2t-1)+22t-1=(t-1)*2+12=2*1所以（2t+1,2t-1）=1（2）解：2(n+1)=1*2n+22n=n*2所以（2n,2
27、(n+1)）=232．（1）解：1=3-1*2=3-1*(38-12*3)=-38+13*(41-1*38)=13*41-14*(161-3*41)=-14*161+55*(363-2*161)=55*363+(-124)*(1613-4*363)=(-124)*1613+551*(3589-2*1613)=551*3589+(-1226)*1613所以s=-1226t=551（2）解：1=4-1*3=4-1*(115-28*4)=-115+29*(119-1*115)=29*119+(-30)
28、*(353-2*119)=-30*353+89*(472-1*353)=89*472+(-119)*(825-1*472)=(-119)*825+208*(2947-3*825)=208*2947+(-743)*(3772-1*2947)=951*2947+(-743)*3772所以s=951t=-74336．证明：因为（a，4）=2所以a=2*(2m+1)mZ所以a+b=4m+2+4n+2=4(m+n)+4=4(m+n+1)即4
29、a+b所以（a+b,4）=437．证明：反证法假设n为素数，则n
