提高 知识梳理.doc

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1、圆的方程【考纲要求】1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，2.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.3.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；4.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．【知识网络】圆的方程圆的一般方程简单应用圆的标准方程点与圆的关系【考点梳理】考点一：圆的标准方程，其中为圆心，为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴

2、相切时：；过原点：.(2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.考点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有(1)若点在圆上第10页共10页(2)若点在圆外(3)若点在圆内考点三：圆的一般方程当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径.要点诠释：由方程得(1)当时，方程只有实数解.它表示一个点.(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆.考点四

3、：几种特殊位置的圆的方程条件方程形式标准方程一般方程圆心在原点过原点圆心在x轴上圆心在y轴上圆心在x轴上且过原点圆心在y轴上且过原点与x轴相切与y轴相切要点诠释：圆的标准方程与一般方程的转化：标准方程一般方程.第10页共10页【典型例题】类型一：圆的标准方程例1.求满足下列条件的各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3；(2)已知圆经过两点，圆心在轴上，则的方程是；(3)经过点，圆心在点【思路点拨】解析：(1)(2)线段的中垂线方程为，与轴的交点即为圆心的坐标，所以半径为，所以圆的方程为.(3)解法一：∵圆的半径，圆心在点∴圆的方程是解法二：∵圆心在点，故设圆的方程为又∵点在圆上，∴，∴∴

4、所求圆的方程是.总结升华：一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径.举一反三：【变式1】若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是（）A.B.C.D.解析：依题意，设圆心坐标为，其中，则有，由此解得，因此所求圆的方程是，选A.类型二：圆的一般方程例2．(1)求经过点、,且圆心在直线上的圆的方程；(2)求以、、为顶点的三角形的外接圆的方程【思路点拨】第10页共10页选用恰当的方程形式用待定系数法求出，或数形结合，利用圆的垂径定理：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形解决。解析：(1)方法一：待定系数法设圆心

5、,则有,解得，∴圆心，半径,∴所求圆的方程为。方法二：数形结合由垂径定理可知，圆心在线段的垂直平分线上即直线上由得，∴圆心，半径∴所求圆的方程为。(2)方法一：待定系数法设圆的方程为,将三个已知点的坐标代入列方程组解得：，解方程组得：,,，故圆的方程为，即方法二：数形结合第10页共10页由图形知：三角形是以为斜边的直角三角形，故圆心为的中点，直径，故圆的方程为：。总结升华：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得、、或、、；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数举一反

6、三：【变式1】求过直线和圆的交点,且面积最小的圆的方程。【答案】：解法一：因为通过两个交点的动圆中，面积最小的是以此二交点为直径端点的圆，于是解方程组得交点,,以为直径的圆的方程:。解法二:(运用曲线系方程)设过直线与圆的交点的圆的方程为,配方得要使圆面积最小，必须半径最小，由于（当且仅当时，最小）故所求圆的方程是【变式2】根据下列条件分别写出圆的方程：(1)以A(4，9)、B(6，3)所连线段为直径；(2)圆过点(0，0)和(1，2)，圆心在直线上；(3)圆过三个点(2，2)，(5，3)，(6，0)；(4)圆过点P(3，2)，圆心在直线，且与交于Q(3，6)；(5)与圆同圆心，且面积等

7、于圆C面积的一半.【思路点拨】[1]充分利用平面几何知识(圆的性质)；[2]选择适当形式的圆方程.第10页共10页解析：(1)显然AB中点C(5，6)为圆心.∴圆方程为：；(2)设圆心为M(a，b)，∴[1]，又圆过点(0，0)和(1，2)，∴[2]，联立[1][2]解得，所求圆的方程为：；(3)设圆的方程为：，解得：∴所求圆方程为：；(4)∵圆过点P、Q，∴圆心为M(a，b)在PQ的中垂线y=4上，∴∴∴∴所求圆方程；(5)圆心为