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《借助几何画板实践波利亚_怎样解题_表_郭强宝.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、DOI:10.15924/j.cnki.1009-5128.2004.s1.0482004年增刊(增总第11期)渭南师范学院学报Vol.19S1借助几何画板实践波利亚“怎样解题”表郭强宝(陕西师范大学数学与信息学院,陕西西安710062)摘要:随着现代教育技术的发展,几何画板在数学中的强大威力逐渐显露出来,同时波利亚的“怎样解题”表在数学中的作用举足轻重,文章将二者结合起来,借助几何画板实践波利亚“怎样解题”表,力求发挥二者的强大威力。关键词:几何画板;“怎样解题”表;实践中图分类号:G622文献标识码:A文章编号:1009-5128(200
2、4)S1—0097—02作者简介:郭强宝(1971—),男,陕西西安人,陕西师范大学数学与信息学院硕士研究生。在罗增儒老师的辛勤指导下,学习了波利亚“怎样解题”表之后,偶然翻开自己前几年的教学笔记,发现有一道数学题至今还未解决,不由得突发奇想,何不借此机会实践一下波利亚解题表。222题目:如图1,等边■ABC的边长a=25+123,点P是■ABC内一点,且PA+PB=PC,若PC=5,求PA、PB的长。图1图2图3初步分析此题,很清楚的意识到,肯定要构造一个分别以PA、PB为直角边,PC为斜边的直角三角形。数学直觉告诉我,PA、PB为3和4。
3、但是在什么位置、采用什么方法来构造这样的直角三角形,令人不得其解。为此,开始仔细研究波利亚“怎样解题”表,并实践一下波利亚的“怎样解题”表。第一,你必须弄清问题。1.这是一个什么问题?这是一个平面几何计算问题,一个计算线段长度的问题。2222.已知条件是什么?等边三角形的边长a,点P是■ABC内一点,PA+PB=PC,PC=5。3.求什么?求PA、PB的长。第二,拟订计划。4.你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?我以前没有见过这道题。仔细回忆想起有一道初中数学竞赛题,题中条件和图形与本题有些相似,但它是道证明题。题目如下:已知
4、:如图2,在等边■ABC,点P是■ABC内一点,分别连结PA、PB、PC。求证:PA≤PB+PC。5.你能不能利用它?清楚地记得证明思路是这样的:o如图3,以点B为顶点,BP为一边作∠PBQ=60,使BC位于∠PBQ的内部,在BQ上截取BD=BP,分别连结PD、CD。由三角形全等和等边三角形性质易知:CD=PA,PD=PB,从而把PA、PB和PC纳入同o一个三角形中,利用三角形三边关系易得结论。实质上是将■ABP绕点B顺时针旋转60(旋转■BPC或■APC也可以),构造出包含PA、PB和PC的三角形实现解题。按照上述辅助线做法和解题思路,同样
5、能构造出包含PA、PB和PC三边的一个三角形,这正好是解决本题的出发点,猜想沿此思路试一试,可能会解决本题。第三,实现计划。6.实现你的求解计划,检验每一步骤。你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?o如图4,以点B为顶点,BP为一边作∠PBQ=60,使BC位于∠PBQ的内部,在BQ上截取BD=BP,·98·郭强宝:借助几何画板实践波利亚“怎样解题”表第19卷分别连结PD、CD。图4图5图6虽然构造得到以PA、PB为直角边,PC为斜边的Rt■PDC,但是仅由PC=5,不能求出PA和PB,同时也不能利用等边■ABC的边长这
6、一条件。至此解题思路中断。在几何画板中作出符合条件的图形,通过度量∠APB和∠APD,惊奇地发现:如图5,在三角形内部,无论点P移动到何位置,∠APB=∠APD=o150。■BPD是等边三角形,联想到轴对称知识,发现若连结AD,直线AP就是等腰三角形■ABD的对称13轴,如图6,延长AP交BD于E,则AE⊥BD,得到Rt■ABE,其中BE=PB,AE=AP+PE=AP+22222PB,AB=a=25+123。再根据PA+PB=PC,且PC=5,连立方程组即可求解。222x+y=5设AP=y,BP=x,则根据题意可知,x2322()+(x+y)
7、=a22解之得,x=3,y=4或x=4,y=3。即AP=3,BP=4或AP=4,BP=3。至此本题解完。第四,回顾.7.回顾解题过程,发现此题中符合条件的点P在等边三角形中很难作出,由此思考:如何在等边222■ABC中作一点P,使PA+PB=PC?在几何画板中作图并度量后,发现■ABC的外部仍然存在符合条件的P,最终发现符合条件的点P的轨迹是一个圆。8.对于等边三角形来说,存在符合条件的点P,且点P的轨迹是一个圆。那么,不禁要想:对于更一般的三角形来说,是否还存在这样的P?若存在点P,点P的轨迹是否仍然是一个圆呢?利用几何画板程序,经过度量发
8、现,对于一般三角形来说,有时存在符合条件的点P,有时符合条件的点P不存在;并且,符合条件的点P并没有上述的∠APB恒为定值这一规律,不能确定点P的轨迹是否是一个圆,
