初三同步辅导材料(第4讲)一元二次方程.doc

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1、初三同步辅导材料（第4讲）一元二次方程主讲：何炳均（南京市一中高级教师）一、教学进度：第十二章一元二次方程12.3一元二次方程的根的判别式12.4一元二次方程的根与系数的关系教学目标：1.理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；　　2．能根据一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值或取值范围和进行有关的证明；　3．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；　　4．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和；二、重点、难点剖析1．一元二次方程的根的判别

2、式是学习一元二次方程的主要内容之一．一般地说，学习时的难度并不大，但有几个问题要弄清楚：(1)对于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，代数式b２－4ac叫做根的判别式，用“△＝b２－4ac”表示．写出一个一元二次方程的根的判别式，首先要将一元二次方程化为标准形式，凡不是标准形式的一元二次方程，都应当通过去括号、移项、合并等步骤化为标准形式.任何一个一元二次方程用配方法将其变形为，因此对于被开方数来说，只需研究为如下几种情况的方程的根。　　①　当时，方程有两个不相等的实数根。　　即　　②　当时，方程有两个相等的实数根，即

3、。　　③　当时，方程没有实数根。(2)判别式的作用是可以由其值的情况确定一元二次方程根的情况，当判别式的值分别取正数、零和负数时，一元二次方程分别有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根.必须指出的是：①判别式与判别式的值是有区别的，判别式是一个代数式，我们确定方程根的情况是用它的值去判定；②判别式的作用只是判别根的情况(指有无实数根)，而不能确定实数根的值．如方程3x2－2x－5＝0，根据△＝(－2)２－4·3·(－5)＝4＋60＝64＞0，可确定此方程有两个不相等的实数根，至于这两个根是什么数，还是要通过解

4、方程去求得．虽然判别式不能确定方程的根的大小，但由于对方程根的情况清楚了，显然对解题是有帮助的，如对于整系数方程3x２－2x－5＝0由于△＝64是一个完全平方数，因此可判断方程的根是有理数,因而我们解此方程时可以直接运用十字相乘方法把方程分解为两个一次方程：x＋1＝0,或3x－5＝0，同样，如果△＝0，那么方程ax２＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，x1＝x2＝－．∴方程的根为x1＝x2＝－＝．其实,此时方程的左边可以化为一个完全平方式:2．2.由方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式x1,2＝(b2－

5、4ac≥0)不难得到x1＋x2＝－,x1·x2＝.这就是一元二次方程的根与系数关系(也称韦达定理).　　在学习和应用上述定理时要注意以下几点:1.一元二次方程根与系数的关系揭示了一元二次方程的实根与系数之间的内在联系，在运用时需先将一元二次方程化为标准形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0);2.运用韦达定理的前提是方程有实数根；3.韦达定理不仅可求出方程两实根的和与积,而且可判断两实数根的符号(如两正根;两负根;一正根一负根等);4.要防止出现x1＋x2＝这样的错误.三、典型例题　　例1m取什么值时，方程3x２－2(3m

6、－1)x＋3m２－1＝0　　　　(1)有两个不相等的实数根?　　　　(2)有两个相等的实数根?　　　　(3)没有实数根?　　解△＝［－2(3m－1)］２－4·3·(3m２－1)＝－24m＋16　　　　当－24m＋16＞0，即m＜时，方程有两个不相等的实数根；　　　　当－24m＋16＝0，即m＝时，方程有两个相等的实数根；　　　当－24m＋16＜0，即m＞时，方程没有实数根．例2已知方程x２－(3－a)x－(3a＋b２)＝0有两个相等的实数根，求实数a与b的值． 解∵方程有两个相等的实数根，∴△＝［－(3－a)］２－4·

7、［－(3a＋b２)］＝a２－6a＋9＋12a＋4b２＝(a＋3)２＋4b２＝0由非负数的性质得a＝－3,b＝0．(为求a、b值就要寻求关于a、b的等式，根据方程根的判别式的取值情况即可得到等式或不等式，这里分析利用非负数的性质是解题的关键)例3当a、b为何值时，方程x2＋(1＋a)x＋(3a２＋4ab＋4b２＋2)＝0有实数根?＂方程有实数根＂，这句话的含义，是指方程有不相等或相等的两个实数根，即△≥0．解∵方程有实数根，∴△≥0，即△＝［2(1＋a)］２－4·(3a２＋4ab＋4b２＋２)≥0整理后可得(1－a)２＋

8、(a＋2b)2≤0∵(1－a)2≥0,(a＋2b)２≥0，　　　∴上述不等式只能有＂＝＂成立，即1－a＝0且a＋2b＝0，则a＝1,b＝－例4判别下列关于x的二次方程2(m＋1)x２＋4mx＋(2m－1)＝0的根的情况．分析不难看出，这是与判别式有关的问题，但有两点应当引起注意：(1)二次方程的二次项系数不为零，即2(m＋1)≠0