巧用数学归纳法解答数列问题.doc

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1、巧用数学归纳法解答数列问题在解答与正整数有关的命题时，数学归纳法是一种常用的方法.下面举例说明如何用数学归纳法探索数列的通项公式、探索与数列有关的参数的取值范围、证明与数列有关的不等式.一、巧用数学归纳法探索数列的通项公式例1（07.江西）设正整数数列满足：，且对于任何，有．(Ⅰ)求，；(Ⅱ)求数列的通项．解：(Ⅰ)由已知不等式得：．①当时，由①得：，即，解得．∵为正整数，∴．当时，由①得：，解得．∵为正整数，∴．∴，．(Ⅱ)方法一：由，，，猜想：．下面用数学归纳法证明．1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则，则时，由①得∵时，，∴．，∴．又，∴．故，即当时，成立．综上，由1，

2、2知，对任意，．评析：①本题是探索型题，“先猜想、后证明”，对思维能力有较高要求；②运用数学归纳法的关键是“由当时成立，如何过渡与转换为当时也成立.”二、巧用数学归纳法探索数列中参数的取值范围例2(04.湖北)已知，满足，，.(Ⅰ)已知的极限存在且大于0，求；(Ⅱ)设，.证明：；(Ⅲ)若对…都成立，求的范围.解：(Ⅰ)∵存在，∴，∴，即,………………………(*)∵，∴.(Ⅱ)结合条件及(*)式得：，∴.(Ⅲ)若对都成立，则当时有，即，解得：.下面用数学归纳法证明当时，对都成立.①当时，由前解答知结论成立.②假设当时，结论成立，即成立.则当时，，∵，∴，∴.∴，即当时，结论也成立.∴

3、由①、②可知，对任意，结论都成立.∴对都成立的的取值范围是.评析：①本题题涉及的知识点有数列、数列极限、方程、不等式、数学归纳法等，考查学生综合应用数学知识的能力，考查学生的运算、推理和逻辑思维能力；②本题第(Ⅲ)问是证明与自然数有关的命题，可优先考虑用数学归纳法，在确定的取值范围时，利用了从特殊到一般的思想方法.例3(05.湖南)自然状态下的鱼类是一种可再生的资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及其捕捞强度对鱼群总量的影响.用表示某鱼群在第年初的总量，，且，不考虑其它因素，设在第年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正数，，.（Ⅰ）

4、求与的关系式；（Ⅱ）猜测，当且仅当，，，满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？(不要求证明)（Ⅲ）设，为保证对任意，都有，则捕捞强度的最大允许值是多少？证明你的结论.解：（Ⅰ）从第年初到第年初，鱼群的繁殖量、被捕捞量、死亡量分别为、、，∴，即().………(*)（Ⅱ）若每年年初鱼群的总量保持不变，则()恒成立，从而由(*)得：，即，∴，∵，∴.于是于是猜测：当且仅当，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.（Ⅲ）当时，.………(**)若的值使得对任意，都有，则由(**)得：，.特别地，有，∴，又∵，∴.∴猜测的最大允许值是1.下面用数学归纳法证明当，时，都有.①当时，结论显然成立.②

5、假设当()时，结论成立，即,则当时，，又∵，∴当时，结论也成立.综合①、②可得，当，时，都有.∴为保证对任意，都有，则捕捞强度的最大允许值是1.评析：①由鱼群的总量不变推断出恒成立，即得到，利用归纳、猜想、证明得到的最大允许值是1；②本题涉及的知识点有数列、方程、不等式、数学归纳法等，考查考生分析、归纳、推理、论证能力及应用所学知识解决实际问题的能力.三、巧用数学归纳法证明数列不等式例4(06.湖南)已知函数,数列满足：，，.证明:(I)；(II).证明：(I)先用数学归纳法证明:,.①当时，，∴当时，；②假设当()时，结论成立，即.∵当时，，∴在内单调递增.∵在上连续，∴，即.∴

6、当时，结论成立.∴由①、②可得，对一切正整数都成立.又∵，，∴.(II)设函数().由(I)知，当时，，即.∴，∴在内单调递增.∵在上连续，且，∴当时，，∴，即，∴，即∴.评析：本题以函数为载体，考查导数及应用、数学归纳法、构造法、不等式证明、递推数列等基础知识和基本技能，考查分析、判断、推理和运算能力以及等价转化的数学思想.例5(07.Ⅰ)已知数列中，，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若数列中，，，证明：，．解：（Ⅰ）由题设：，∴．∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，∴的通项公式为，．(Ⅱ)用数学归纳法证明．(ⅰ)当时，因，，所以，结论成立．(ⅱ)假设当时，结论成立，即，也即．当时

7、，，又，∴．也就是说，当时，结论成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）知，．作者简介：中学数学高级教师，四川省省级骨干教师、省级优秀教师，在《中学生理科月刊》、《数理报》等刊物发表论文20余篇.