极坐标计算二重积分.ppt

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1、(1)直角坐标下累次积分的计算公式［Y－型］［X－型］知识点回顾确定累次积分限关键直角坐标系下的面积元素(2)交换二次积分的积分次序知识点回顾画出积分区域形状，确定新的二次积分限(3)利用对称性和奇偶性化简二重积分关键重要结论知识点回顾(4)应用问题--由曲面所围成的立体体积的计算方法yzx解利用极坐标系计算思考题考研—填空题第二十一章$4利用极坐标计算二重积分数学分析利用极坐标计算二重积分---249页极坐标系下的面积元素的确定主要内容二重积分转化为极坐标形式表达式极坐标系下的二重积分化为累次积分极坐标系下二

2、重积分的----计算方法本节重点本节关键?极坐标系下的面积元素如何表示？极坐标系下的区域如何表示？一、极坐标系下二重积分的表达式极坐标系下被积函数如何表示？利用扇形的面积公式（用极坐标曲线划分D）面积元素1.极坐标系下的面积元素的确定极坐标系下区域的面积化边界曲线化被积函数化面积元素应用范围：积分区域为圆域(或一部分)，被积函数含的用此简便.2.二重积分转化为极坐标形式的表达式关键确定极坐标系下先r后积分的方法==-型：极坐标系下的累次积分极坐标系下区域如图所示：二、极坐标系下二重积分化累次积分方法

3、：三线法区域特征（一）如图：极点在积分区域外二重积分化为二次积分的公式（１）251页二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征（二）如图极点在区域D的边界上二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征（三）如图极点在区域D内部思考:下列各图中区域D分别与x,y轴相切于原点,试问的变化范围是什么?答:(1)(2)解例题分析印象复杂问题简单化了！考研—填空题解例题分析为极坐标下的二次积分.练习化二重积分1解解被积函数奇偶不确定如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等，或被积函数f(x2+y2)形式，利用极坐标常能简化计

4、算.通常出现下面两类问题：1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分小结解题步骤：1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，需依下列步骤进行：(1)将代入被积函数.(2)将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限-------做题关键(3)将面积元dxdy换为.2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行.休息一会儿作业：P254-1,2，如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形

5、域等，或被积函数f(x2+y2)形式，利用极坐标常能简化计算.通常出现下面两类问题：1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分解题步骤：1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，需依下列步骤进行：(1)将代入被积函数.(2)将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限-------做题关键(3)将面积元dxdy换为.2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行.解解伯努利双曲线

6、例5求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a>0)内部的那部分面积.yzx解：A=4A1S:Dxy:x2+y2≤ax,y≥0.zyxDxyS解由对称性yzx例5252-4解由对称性二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）小结极坐标系下几种形式解法一例5例5解法二解的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于坐标计算.注:利用上例可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式①解答：思考题解练习题预习坐标变换原式思考题思考题解答小结1.积分区域的类型；2.在直角坐标系下化

7、二重积分为二次积分的计算公式3.二重积分的计算(直角坐标系、极坐标系)①关于积分次序的选择②交换二次积分的次序③利用对称性计算二重积分4.二重积分的几何应用练习题练习题答案