高二数学人教A版选修2-2课件：2.3 .ppt

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1、2．3数学归纳法自主学习新知突破1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．下图为多米诺骨牌：如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？[提示](1)处理第一个问题；(相当于推倒第一块骨牌)(2)验证前一问题与后一问题有递推关系．(相当于前牌推倒后牌)一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：1．(归纳奠基)证明当n取___________(n0∈N*)时命题成立；2．(归纳递推)假设___________________时命题成立，证明当__________时命

2、题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．第一个值n0n＝k(k≥n0，k∈N*)n＝k＋1上述证明方法叫做数学归纳法可以用框图表示为：数学归纳法的应用及注意事项(1)数学归纳法的应用范围是证明与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题，探求数列的通项及前n项和等．(2)应用数学归纳法应注意：①数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证明．②验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不可；③在证明n＝k＋1命题成立时，必须使用归纳假设的结论，否则就不是数

3、学归纳法．1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为()A．1B．2C．3D．4解析：边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.答案：C答案：D3．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为__________.解析：当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1.答案：1×4＋2×7…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝

4、(k＋1)(k＋2)24．用数学归纳法证明：1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝(2n－1)·n.证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即1＋5＋9＋…＋(4k－3)＝k(2k－1)．则当n＝k＋1时，左边＝1＋5＋9＋…＋(4k－3)＋(4k＋1)＝k(2k－1)＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝(2k＋1)(k＋1)＝[2(k＋1)－1](k＋1)＝右边，∴当n＝k＋1时，命题成立．由①②知，对一切n∈N*，命题成立．合作探究课堂互动用数学归纳法证

5、明等式或不等式[思路点拨]用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项．用数学归纳法证明几何问题用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成(k＋1)个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析．在实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证

6、明几何命题的一大技巧．归纳—猜想—证明“观察—归纳—猜想—证明”模式的题目的解法(1)观察：由已知条件写出前几项；(2)归纳：找出前几项的规律，找到项与项数的关系；(3)猜想：猜想出通项公式；(4)证明：用数学归纳法证明猜想的形式，因为猜想不一定正确，所以要通过数学归纳法给出证明．3．数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝a＋n，an>0(n∈N*)，(1)求a1，a2，a3的值，并猜想数列{an}的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解析：(1)由2Sn＝a＋n得当n＝1时，2a1＝a

7、＋1，∴a1＝1.当n＝2时，2S2＝a＋2，∴a2＝2.当n＝3时，2S3＝a＋3，∴a3＝3.猜想：数列{an}的通项公式为an＝n.【错因】没有利用归纳假设进行证明．第(2)步，不可以直接利用等比数列的求和公式求出当n＝k＋1时式子的和，在证明n＝k＋1时，一定要利用“归纳假设”．高效测评知能提升谢谢观看！