积分变换第4讲x.ppt

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1、§3卷积卷积是积分变换中的一个重要概念，这一运算在实际问题如线性系统分析中有着重要应用.下面着重介绍卷积的概念与卷积定理.1、卷积定义设函数f1(t),f2(t)在整个数轴上有定义,则称为函数f1(t)与f2(t)的卷积,记为f1(t)*f2(t).1即若当自变量为负时，认为函数值为0，则上式可表示为：-------拉氏变换下的卷积的定义.注：不同变换下的卷积定义不同.22、卷积的性质2.1交换律2.2结合律2.3分配律3思考题：例1设求f1(t)*f2(t).f1(t)ttf2(t-t)O1tOo14解：代入定义，计算积分即可.练习：请计算5解

2、：根据（1）式，得例2求函数的拉氏卷积.于是例3求函数的拉氏卷积.提示：63、卷积定理卷积在积分变换中有着十分重要的的应用，主要体现在卷积定理上.定理1证明：根据定义，有7类似地，可以证明可以将不太容易计算的卷积运算化为普通乘法，这就使得卷积在线性系统分析中成为特别有用的方法.8同付氏变换一样，拉氏变换也有所谓卷积定理.或者定理2这里的证明思想和傅立叶意义下卷积定理的证明类似，所以证明从略.9例4若求F[f(t)].解：练习题：10解：例5求的逆变换.例6求的逆变换.解：练习：11§4拉氏逆变换1、反演积分公式函数f(t)的拉氏变换，实际上就是的

3、傅氏变换，即因此，当满足傅氏积分定理的条件时，在f(t)的连续点处，有12即公式（1）就是从像函数F(s)求像原函数f(t)的一般公式，称为反演积分公式.13证明思路：如图，引进辅助半圆周，则形成闭合路径.应用留数定理，令R→+∞，并证明cR上的积分趋于0，由此便可得到结论.2、利用留数求逆变换定理则有cR+iR.s2.s1.sn-iR14需要特别指出的是：若为不可约真有理分式，在这种情况下，可以利用公式（2）.情形1若B(s)有n个单零点则情形2若B(s)有m级零点则15例1求下列有理分式的拉氏逆变换：解：（1）显然k和–k为分母的一级零点，则

4、（2）0和1分别为分母的一级和二级零点，则16（3）为假有理分式，于是分解注意到s=-1为F(s)的二阶极点，故17例2求的逆变换.于是解：显然如何求？事实上，位移或微分性质该题还可以其他办法求解.18§5拉氏变换的应用拉氏变换在线性系统分析中的应用，要涉及到响应、传递函数等专业术语，这在后面专业课中会详细讨论.下面举例说明它在数学中的应用：用拉氏变换求解微分（常微分，偏微分）方程、积分方程.此方法的原理：应用变换的微分、积分公式，将未知函数的微积分方程化为其象函数的代数方程，求解象函数，最后取逆变换便得到原方程的解！19解:两端取拉氏变换，记得

5、即例1求解方程且满足条件从而20解:两端取拉氏变换，记得于是例２求解方程且满足条件从而即21例３解下列积分方程：解：本题的方程为卷积型的，即可表为因此，两端取拉氏变换，记那么由卷积定理，得即22最后一步，取逆变换：得到象函数表达式为：由练习题求解下列积分方程：23像原函数（方程的解）像函数取拉氏逆变换微分方程像函数的代数方程取拉氏变换解代数方程练习：求方程组：24本讲主要内容：１、卷积和卷积定理２、拉氏逆变换３、拉氏逆变换的应用25致谢：在课件制作过程中，参考了其他单位和个人的有关资料，在此表示衷心感谢！26