物理学 作者 吴新红 主编曲梅丽 主编 梅丽 齐建春 杨鸿 副主编 李克勇 主审 补充章导数与微分.ppt

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1、第二节　导数与微分导数的基本知识一、导数的定义三、基本函数的求导公式四、导数的四则运算二、导函数五、复合函数的求导定义设函数y=f(x)在点x0的一个邻域内有定义.在x0处给x以增量x(x0+x仍在上述邻域内)，函数y相应地有增量y=f(x0+x)-f(x0)，一、导数的定义则称此极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数.即此时也称函数f(x)在点x0处可导.如果上述极限不存在，则称f(x)在x0处不可导.例1求函数f(x)=x2在x0=1处的导数，即f(1).解第一步求y：y=f(1+x)-f(1)=(1+x)2-12=2x+(x)2.第三步求极限

2、：所以，f(1)=2.第二步求：例2求函数y=x2在任意点x0(,)处的导数.解：y=f(x0+x)-f(x0)=(x0+x)2-x02=2x0x+(x)2.二、导函数第二步求：第一步求y：第三步取极限：即有了上式，求具体某一点，如x0=1处导数，就很容易了，只要将x0=1代入即得例2表明，给定了x0就对应有函数f(x)=x2的导数值,这样就形成了一个新的函数，f(x)=x2的导函数，它的表达式就是(x2)=2x.一般地，函数f(x)的导函数记作f(x)，它的计算公式是：叫做函数类似例2，我们可以得xn(n为整数)的导函数，当n为任意实数时，上

3、式仍成立.(sinx)=cosx(cosx)=-sinx(ex)=ex三、基本函数的求导公式（C为常数）定理设函数u(x)、v(x)在x处可导，在x处也可导，[u(x)v(x)]=u(x)v(x);[u(x)v(x)]=u(x)v(x)+u(x)v(x);四、导数的四则运算且则它们的和、差、积与商推论[cu(x)]=cu(x)(c为常数).解根据推论可得：(3x4)=3(x4)，(5cosx)=5(cosx)，(cosx)=-sinx，(ex)=ex，(1)=0，故f(x)=(3x4-ex+5cosx-1)=(3x4)-(ex

4、)+(5cosx)-(1)=12x3-ex-5sinx.f(0)=(12x3-ex-5sinx)

5、x=0=-1又(x4)=4x3，例3设f(x)=3x4–ex+5cosx-1，求f(x)及f(0).五、复合函数的求导定理设函数y=f(u)，u=(x)均可导，则复合函数y=f[(x)]也可导.且或或例4设y=(2x+1)5，求y.解把2x+1看成中间变量u，y=u5，u=2x+1复合而成，所以将y=(2x+1)5看成是由于求y.解将中间变量记在脑子中.这样可以直接写出下式例6求y.解将中间变量记在脑子中.这样可以直接写出下式例7练习:求下列函数的导数

6、微分的基本知识一、微分概念二、微分的基本公式三、微分的四则运算定义设函数y=f(x)在点x的一个邻域内有定义，y=Ax+，其中A与x无关，是x的高阶无穷小量，则称Ax为函数y=f(x)在x处的微分，记作dy，即dy=Ax.这时也称函数y=f(x)在点x处可微.如果函数f(x)在点x处的增量y=f(x+x)-f(x)可以表示为一、微分概念则函数y=f(x)在点x处可导，反之，如果函数y=f(x)在点x处可导，且A=f(x).设函数y=f(x)在点x可微，则f(x)在点x可微.函数f(x)在x处可微的充要条件是函数f(x)在x处可导.上述定理可叙述为：d

7、y=f(x)dx.可以写为或定理1解因为所以例1求函数y=2sinx在x处的微分，并求当x=0时的微分(记作dy

8、x=0).dc=二、微分的基本公式0.dxn=nxn-1dx.dex=exdx.dsinx=cosxdx.dcosx=-sinxdx.dtanx=sec2xdx.（C为常数）定理2设函数u、v可微，则d(uv)=dudv.d(uv)=udv+vdu.三、微分的四则运算例2设y=3ex–sinx，求dy.解dy=d(3ex)–dsinx=3dex–cosxdx=3exdx–cosxdx=(3ex–cosx)dx.例3设y=excosx，求dy.解dy=d(

9、excosx)=exdcosx+cosxdex=ex(cosx-sinx)dx.作业:求下列函数的导数和微分