材料力学教程 教学课件 作者 范慕辉 焦永树 主编 第3章扭转.ppt

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1、第3章扭转§3.1扭矩与扭矩图§3.2切应力互等定理剪切胡克定律§3.3圆轴扭转应力及强度条件§3.4圆轴扭转变形及刚度条件§3.5非圆截面杆扭转时的应力与变形§3.1扭矩与扭矩图一、扭转变形杆件在两端受到两个大小相等、转向相反、作用面垂直于杆件轴线的力偶的作用，杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动，这样的变形称为扭转变形。二、以扭转变形为主的杆件称为轴3.1.1扭转力偶矩的计算§3.1扭矩与扭矩图发生扭转变形的外力偶矩，称为扭转力偶矩1.已知外力2.已知传递的功率P(kW)和转速n(r/min)得3.1.2轴横截面上的内力

2、偶矩-扭矩§3.1扭矩与扭矩图求横截面n-n上的内力偶矩截面法作用于横截面上的内力偶矩称为扭矩由作用与反作用原理可知，在部分Ⅱ横截面n-n上也必然有大小相等、转向相反的扭矩T§3.1扭矩与扭矩图符号规定以右手的四指顺着扭矩的转向，若拇指的指向与截面外法线方向一致时为正(图3-4a)，反之为负(图3-4b)。3.1.3扭矩图§3.1扭矩与扭矩图扭矩图反映扭矩随横截面位置变化的情况按选定的比例尺，以沿杆轴线方向的坐标表示横截面的位置，以垂直于杆轴线的坐标代表扭矩T，正的扭矩画在横轴上方，负的画在下方。§3.1扭矩与扭矩图例3-1传动

3、轴如图3-5a所示，主动轮A输入功率PA=72kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=20kW，PD=32kW，转速n=300r/min。试绘制轴的扭矩图。解(1)外力偶矩的计算§3.1扭矩与扭矩图(2)扭矩的计算BC段CA段AD段(3)扭矩图绝对值最大的扭矩发生在CA段的各截面上结论任一横截面上的扭矩等于该截面一侧(左侧或右侧)所有外力偶矩的代数和。§3.2切应力互等定理剪切胡克定律一、实验观测现象(1)纵向线都倾斜了相同的角度，变为平行的螺旋线。3.2.1薄壁圆筒的扭转在圆筒表面画一系列纵向线和圆周线。(2)圆周线绕

4、杆轴线旋转了不同的角度，但仍保持为圆形，且在原来的平面内。推断：(a)变形后，横截面仍保持为平面；(b)横截面上没有正应力，只有切应力，切应力的方向与半径垂直。§3.2切应力互等定理剪切胡克定律研究薄壁筒的任一横截面横截面上的扭矩微内力τdA对截面形心的力矩为τdA·R微面积dA=δRdθ二、切应力的计算即积分得§3.2切应力互等定理剪切胡克定律取一单元体力τdydz左、右侧面上、下侧面3.2.2切应力互等定理平衡条件∑Mz=0得τdydzdx-τ′dxdzdy=0力偶矩(τdydz)dx切应力τ切应力τ'力τ'dydz力偶矩(

5、τ'dxdz)dyτ=τ′§3.2切应力互等定理剪切胡克定律切应力互等定理在单元体相互垂直的截面上，切应力必然成对出现，且大小相等，方向都指向(或背离)两平面的交线纯剪切应力状态单元体侧面上只有切应力，没有正应力的状态称为纯剪切应力状态。§3.2切应力互等定理剪切胡克定律直角的改变量即为切应变低碳钢的曲线在弹性极限范围内3.2.3剪切胡克定理上式称为剪切胡克定理。G称为材料的切变模量,单位为帕(Pa)切变模量G、弹性模量E和泊松比三者之间的关系是§3.3圆轴扭转应力及强度条件圆轴扭转的平面假设变形前为平面的横截面，在变形后仍保

6、持为平面，半径仍保持为直线，各横截面的形状、大小及间距均不改变。3.3.1圆轴扭转时的切应力圆轴扭转时横截面上的应力可以从三个方面导出1．几何方面2．物理方面3．静力学方面§3.3圆轴扭转应力及强度条件1．几何方面取长为dx的微段从该微段中切取一楔形体由几何关系及小变形假设两截面的相对扭转角为表示扭转角φ沿轴线的变化率，称为单位长度扭转角在同一半径为ρ的圆周上，各点处的切应变γρ均相同，且与ρ成正比。§3.3圆轴扭转应力及强度条件2．物理方面根据剪切胡克定律，在线弹性范围内，切应力与切应变成正比。横截面上半径为ρ处的切应力为(1

7、)横截面的切应力与该点到圆心的距离ρ成正比。(2)纵向截面上的切应力也沿半径线性变化。§3.3圆轴扭转应力及强度条件3．静力学方面微力矩截面上的扭矩为常量，得引进记号Ip称为横截面对圆心的极惯性矩圆轴单位长度扭转角的计算公式§3.3圆轴扭转应力及强度条件圆轴横截面上任一点处的切应力切应力达到最大值引进记号Wp称为抗扭截面系数。(1)只适用于弹性范围内的等直圆轴(2)对于小锥度圆轴，也可以用以上各式近似地计算。说明：§3.3圆轴扭转应力及强度条件(1)实心圆截面空心圆截面杆横截面上的切应力仍然呈线性分布，最大切应力发生在截面外边缘

8、。(2)空心圆截面3.3.2极惯性矩与抗扭截面系数§3.3圆轴扭转应力及强度条件(1)为材料的许用切应力(3)对变截面轴,需要综合考虑T和Wp来确定τmax。(2)对于等直轴，最大切应力发生于扭矩最大截面上的外边缘。3.3.2圆轴扭转强度条件§3.3圆轴扭转应力