椭圆的知识点方法总结.doc

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1、1.(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．注意当到两定点的距离之和等于

4、F1F2

5、时，动点的轨迹是线段F1F2；当到两定点的距离之和小于

6、F1F2

7、时，动点的轨迹不存在．(2)标准方程：中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为：(a>b>0)；中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：(a>b>0)．注意当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成Ax2＋By2＝1的形式，其中A，B是不相等的

8、正常数，或设成()的形式．2.(1)椭圆的几何性质：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等．注意在解题时要特别注意第二类性质，先根据椭圆方程的形式判断出椭圆的焦点在哪条坐标轴上，再进行求解．(2)椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方法：①求出代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式

9、)即可得e(e的取值范围)．3.(1)位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为Δ，①Δ>0⇔直线与椭圆相交；②Δ＝0⇔直线与椭圆相切；③Δ<0⇔直线与椭圆相离．(2)弦长公式①若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则.②焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为.(3)中点弦的重要结论AB为椭圆(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)．①斜率：k＝－；②弦A

10、B的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值.4.求轨迹方程(1)定义法：求轨迹方程时，若动点轨迹的条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法．①运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程；②定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方程是什么形式的方程的情况．利用条件把待定系数求出来，使问题得解．(2)相关点法(代入法)：若动点P(x，y)所满足的条件不易表述或求出，但随另一

11、动点的运动而有规律地运动，且动点Q的轨迹方程给定或容易求得，则可先将表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得点P的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法，也称代入法．用相关点法求轨迹方程的关键是寻求关系式：，然后代入已知曲线方程．求对称曲线(轴对称、中心对称等)方程实质上也是用代入法(相关点法)解题．1.(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数这一条件．(2)利用定义求焦点三角形的周长和面积，解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理，常用到结论有：(其中，)

12、①

13、；②；③当P为短轴端点时，θ最大．④.当，即P为短轴端点时，有最大值为bc.⑤焦点三角形的周长为2(a＋c)．2.椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．3.(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，

14、往往会更简单．(2)代入法求轨迹方程的关键是寻找所求动点与已知动点间的等量关系．常涉及中点问题、三角形重心问题及向量相等或向量间关系等知识．