向量在解析几何中的应用.doc

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1、向量在解析几何中的应用嵩明县第一中学:吴学伟2006年12月5日星期二解析几何是历年数学高考舞台上必唱“主角”之一。近年来命题人往往以解析几何的传统内容为载体,融合向量等其它相关知识,设计出与轨迹问题的交汇与整合、向量与二次曲线方程问题的交汇与整合、向量与有关证明或范围问题的交汇与整合。一、向量基础知识(1)、向量的数量积定义:(2)、向量夹角公式:与的夹角为,则(3)、向量共线的充要条件:与非零向量共线存在惟一的,使。(4)、两向量平行的充要条件:向量,平行(5)、两向量垂直的充要条件:向量(6)、向量

2、不等式:,(7)、向量的坐标运算:向量,,则二、向量的应用1、利用向量证明等式材料一:已知、是任意角,求证:。证明:在单位圆上,以轴为始边作角,终边交单位圆于A,以轴为始边作角,终边交单位圆于B,有,所以有:又即点评:对于某些恒等式证明,形式中含有或符合向量的坐标运算形式,可运用向量的数量积定义和向量坐标运算来证明。2、利用向量证明不等式材料二:是正数。求证:证明:设由数量积的坐标运算可得:又因为,所以成立。点评:当求解问题(式子)中含有乘积或乘方时,可巧妙地利用向量数量积坐标表达式:,,构造向量解之。3

3、、利用向量求值材料三:已知,求锐角。解析:由条件得设,,则,,,由,得,即,则,即,同理(因为、为锐角)点评:对于求值问题,巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系求值。变式:已知A、B、C的坐标分别为、,,。(1)、若,求角的值;(2)、若,求的值。解析:(1), 由得,又,(2)、由得……………………………………(1)又由(1)式两边平方得,4、利用向量求函数值域材料四:若,求的最小值。解析:构造向量,由,得即,当且仅当时,有最小值变式:设是实数,求的最小值。解析:,故可设,,当,即时等号成立。所以当时

4、,取最小值点评:巧妙构造向量,可以解决条件最值问题,特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最值问题,用向量证明更有独特之处。5、利用向量解决析几何问题材料六:过点,作直线交双曲线于A、B不同两点,已知。(1)、求点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。(2)、是否存在这样的直线,使若存在,求出的方程;若不存在,说明理由。解析:(1)、设直线的方程为,代入得,当时,设,,则,设,由,则,解之得再将代入得……………………(1)当时,满足(1)式;当斜率不存在是,易知满足(1)式,故所求轨迹方程为,其轨迹为双

5、曲线;当时,与双曲线只有一个交点,不满足题意。(2),所以平行四边形OAPB为矩形,OAPB为矩形的充要条件是,即。当不存在时,A、B坐标分别为,,不满足上式。又化简得:,此方程无实数解,故不存直线使OAPB为矩形。点评:平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点,也是近几年高考常考查的热点,解此类题应注重从向量积的定义和向量的加减法的运算入手,还应该尽量联系向量与解析几何的共同点,综合运用解析几何知识和技巧,使问题有效解决。变式:已知双曲线C:,B是右顶点,F是右焦点,点A在x轴正半轴上,且满足、、成等比

6、数列,过F作双曲线C在第一象限的渐近线的垂线,垂足为P,如图所示。(1)求证:;(2)若与双曲线C的左、右两支分别交于点D、E,求双曲线C的离心率的范围。解析:(1)直线的方程为:,由解得、、成等比数列,,故轴,如图所示。从而(2)、由得,即,,即,点评:本题是平面向量的数量积、二次曲线、等比数列等知识的交汇与整合,近几年的高考解析几何题中,多次考到了证明题或范围问题,因而在复习中对这类题要给予一定的重视。随着复习的继续与深入,我们还可以看到平面向量与概率、导数、复数等知识的交汇与整合,为命题者施展了优化

7、创新试题的陈地,也为我们分析、解决问题的切入点开辟了新的视角。注:解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:(1)给出直线的方向向量或,要会求出直线的斜率;(2)给出与相交,等于已知过的中点;(3)给出,等于已知是的中点;(4)给出,等于已知与的中点三点共线;(5)给出以下情形之一:①;②存在实数;③若存在实数,等于已知三点共线.(6)给出,等于已知是的定比分点,为定比,即(7)给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角,给出,等于已知是锐角。(8)给出,等于已知是的平分线/(9)在平行四边形中,给出,

8、等于已知是菱形;(10)在平行四边形中,给出,等于已知是矩形;(11)在中,给出,等于已知是的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);(12)在中,给出,等于已知是的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点);(13)在中,给出,等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);(14)在中,给出等于已知通过的内心;(15)在中,给出等于已知是的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三

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