高等数学概念定理推论公式.doc

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1、高等数学概念、定理、推论、公式※函数及图形·和的绝对值不大于各项绝对值的和；·差的绝对值不小于各项绝对值的差；·乘积的绝对值等于各项绝对值的乘积；·商的绝对值等于被除数及除数的绝对值的商。·若自变量x在定义域X内每取得一确定值时，函数只有一个确定值与之对应，这种函数叫单值函数；否则就是多值函数。·若函数y=f(x)当x改变符号时函数值也只改变符号，即F(-x)=-f(x)，此函数叫奇函数，奇函数对称于原点；若x改变符号，函数值不变，即f(-x)=f(x)，即为偶函数，偶函数对称于y轴。·反函数的图形与直接函数(

2、原函数)的图形对称于直线y=x※数列的极限及函数的极限·如果数列收敛，一定是有界的；·有界的数列不一定都是收敛的；·无界数列一定是发散的。·如果，而且A>0(或A<0)，那么就存在着点x0的某一邻域，当x在该领域内，但x≠x0时，f(x)>0(或f(x)<0)。·如果f(x)≥0(或f(x)≥0)，而且，那么A≥0(或A≤0)。·函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左右极限都存在且相等。·如果函数为无穷大，则为无穷小；反之亦然(≠0)。·具有极限的函数可表示为等于其极限的一个常数及无穷小的和；反之，

3、如果函数可表示为常数及无穷小，则该常数就是函数的极限。·有限个无穷小的和(代数和)也是窥小。·有界函数与无穷小的乘积是无穷小，(常数乘以无穷小为无穷小，有限个无穷小的积是无穷小)。·以极限不为零的函数除无穷小所得的商是无穷小。·有限个具有极限的函数之和(代数和)的极限必存在，并且等于它们极限的和。·有限个具有极限的函数的积的极限必存在，并且等于它们极限的积。·常数因子可以提到极限符号的外面(即limcu=climu)。·具有极限的函数的正整数幂的极限必存在，并且等于函数极限的幂。·两个具有极限的函数的商的极限，

4、当分母极限不为零时，这个极限必存在，并且等于它们极限的商。·如果，则a≥b。·如果yn≤xn≤zn(n=1,2,3……);,则数列xn的极限存在，且。·如果点x0的某一邻域内的一切x(点xn本身可以除外)，或绝对值大于某一正数的一切x，有g(x)≤f(x)≤h(x)成立；存在，且等于A。·。·如果单调数列(增大或减小)xn是有界的，则必趋向一个极限。·。·若lim=0，则β是比α较高阶的无穷小，即β→0比α→0快些；·若lim=∞，则β是比α较低阶的无穷小，即β→0比α→0慢些；·若lim=c≠0，则β是与α同

5、阶无穷小，即β→0与α→0同样程度；·若lim=c≠0，k>0，则β是关于α的k阶无穷小；·若lim=1，则β是与α等价无穷小，即α～β；·若两个无穷小α与β，如果，则无穷小α是无穷小β的主部。※函数的连续性·函数在点的某一邻域内是有定义的，如果当自变量的增量(由值起趋向于零时，对应的函数的增量也趋向于零，则函数在点(或当x=时)为连续的。·函数在点的某一邻域内是有定义的，当x→时，函数的极限存在，且等于x=处的函数值，则函数在点(或当x=时)为连续的。·如果已知函数在点连续，那么求函数当x→时的极限，只要把x

6、用代入，而求它的函数值即可。·分式有理函数在它的定义域上每一点都是连续的，特别是，x的多项式对于任何x值都是连续的。·函数y=sinx,y=cosx在区间(-∞，+∞)内是连续的。·在x=处没有定义；或虽在x=处有定义，但不存在；或虽在x=处有定义，且存在，但≠；或函数在点处左右极限(即都存在，但，则函数在点不连续，点称为间断点。·在闭区间上连续的函数在该区间上至少取得它的最大值和最小值各一次。·介值定理：设函数在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值那么，不论C是A与B之间的怎样一个数，在开区

7、间(a,b)内至少有一点，使得特别是如果异号，那么在开区间(a,b)内至少有一点，使得。·在开区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。·设函数f(x)在某区间X上有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在有一个正数δ，使在区间X内任意两点x0,x，只要它们的距离小于δ，即当

8、x0-x

9、<δ时，就有不等式

10、f(x)-f(x0)

11、<ε成立，则f(x)在区间上是一致连续的。·如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它们在该区间上一致连续。·有限个在某点连续的函数的和(代数和)是一个在该点连续的函数

12、。·有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数。·两个在某点连续的函数的商，当分母在该点不为零时，是一个连续函数。·如果函数在某区间上单值、单调增加(或减少)且连续，那么它的反函数也在某一对应的区间上单值、单调增加(或减少)。·设函数连续，而函数在点连续，且，又设复合函数在点的某一邻域内是有定义的，那么这复合函数在也是连续的，即连续的复合函数也是连续的。·指数函数在区间(-∞，