解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法.doc

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1、实验报告一、实验名称解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法二、实验目的及要求通过数值实验，用熟悉的算法语言编写程序，从中体会解线性方程组选主元素的必要性和Lu分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。三、实验内容解下列两个线性方程组（1）（2）四、算法描述1、列主元高斯消去法：记（）（）（1）消元过程对于R=1,2，……，n-1执行：1）选行号，使2）交换与（j=k,k+1,……n）以及与所含的数值。3）对于i=k+1,k+2,……，n计算j=k+1,k+2,……n.（2）回代过程在此算法中的（k=1,2,……，n-1）称为第k个

2、列主元素，它的数值总要被交换到第k个主对角线元素的位置上。2、LU分解法通过MATLAB自有的函数把系数矩阵A分解成A=LU，其中，L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。这时方程组Ax＝b就可化为两个容易求解的三角形方程组Ly＝b，Ux＝y．先由Ly＝b解出向量y，再由Ux＝y解出向量x，这就是原方程组Ax＝b的解向量。五、程序流程图(1)列主元高斯消去法程序流程图如下：开始读入矩阵A，b选主元ik=k?跳出循环Y列主元N计算对A进行上三角变换回代求x输出x结束(2)LU分解法程序流程图如下：开始读入矩阵A求出值y(1),y(2)求i>3?YN输出y求y值求末值x(n

3、),x(n-1)j>3?YN求x值输出x结束这里我使用了四种框，一种是起止框，一种是输入输出框，一种是判断框，还有一种是处理框。3、列主元素高斯消去法的M文件如下：functiona=liezhuGS(A,b)r=length(A[1],i)fori=1:rforj=1:rifA(i,i)

4、endb(l)=b(l)-p*b(i);endendA……Z=det(A)…bforn=r:-1:1ifn==rx(n)=b(n)/A(n,n);elseforq=1:(r-n)b(n)=b(n)-x(x+q)*A(n,n+q);endx(n)=b(n)/A(n,n);endendx4、LU分解法的M文件如下：Functiona=Lufenjiefa(A,b)[L,U]=lu(A)Y=lbX=uyAbZ=det(l)*det(u)5、实验步骤如下：（1）A=；b=；分别在命令窗口中运行LiezhuGs(A,b)和Lufenjiefa(A,b);记录相关数据（

5、2）A=;b=;分别在命令窗口中运行LiezhuGs(A,b)和Lufenjiefa(A,b);记录相关数据（3）A=；b=;分别运行LiezhuGs(A,b),记录列主行交换次序x,det(A)（4）A=；b=;运行LiezhuGs(A,b),记录相关数据（5）分别对上述A，b在命令窗口运行x=inv(A)*b,y=det(A),记录数据。六、实验结果实验项目列主元高斯消去法LU分解法Matlab内部函数法（1）A=L=U=（2）（3）（4）七、实验结果分析解线性方程组有选主元的必要性。LU分解法具有简洁、正确的优点，调用[L,U]内部函数使其解法简便，得出的

6、系数距阵的行列式为精确值。实验(1)系数为3.01改为3.00，0.978改为0.990，得出结果如上所示。实验（1）中系数发生微小改变后，结果变化不大。用Matlab的内部函数inv计算得出的解向量x=inv(A)*b,即为上述各方程组的解，与列主元素高斯消去法和LU分解法求出的解进行比较可知，它们都是等同的，这说明列主元素消去法具有良好的数值稳定性。