抛物线知识点与性质大全.doc

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1、微信号：AA-teacher;微信公众号：数学第六感抛物线与方程【知识讲解】1、定义平面内，到定点的距离与到定直线距离相等的点的轨迹（定点不在定直线上）.其中定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线.【注】若定点在直线上，则轨迹为过该点垂直于直线的一条直线.2、抛物线的方程及其简单性质标准方程焦点坐标准线方程3、通径过抛物线的焦点作直线轴，交抛物线于两点，弦长，此时的弦长称为通径，此为所有的焦点弦中最短的弦.4、焦点弦的性质（1）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，则①，；②定值，定值；③定值；④.（2）过抛物

2、线的焦点作倾斜角为（斜率为）的直线交抛物线于（在上方）两点，则①；②；③.（3）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为，设中点为，过作准线的垂线，垂足为，则微信号：AA-teacher;微信公众号：数学第六感①；②；③；④；⑤；⑥以为直径的圆与准线相切，切点即为；⑦以为直径的圆与轴相切；⑧；；⑨.（4）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为，准线与轴交于点，为坐标原点，则①；②三点共线；③三点共线；（5）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，线段的垂直平分线交轴

3、于点，则.（6）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为准线上的一动点，且直线、、的斜率均存在，则直线、、的斜率成等差数列，即.5、过点的直线交抛物线于两点，则①定值；②定值；③；④时，定值.6、设点是抛物线的焦点，是抛物线上的个不同的点，若，则.微信号：AA-teacher;微信公众号：数学第六感【典型例题】例1、已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（）A．椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆【变式】已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（）A．椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线例2、点与点的距离比它到直线的距离小2，则

4、的轨迹方程为_______.【变式】动圆与定直线相切且与定圆:相外切，则动圆圆心的轨迹方程为_______.【变式2】到轴的距离比到点的距离小2的动点的轨迹方程为_______.例3、抛物线的焦点坐标为_______.【变式】1【2014上海】若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_______.微信号：AA-teacher;微信公众号：数学第六感【变式2】抛物线恒过定点，的准线为轴，则的顶点的轨迹方程为_______.例4、在抛物线上一点，使它到定点和焦点的距离之和最小，并求出距离之和的最小值.

5、【变式1】设是抛物线上的一个动点，则点到直线与点到轴的距离之和的最小值为________.【变式2】设是抛物线上的一个动点.（1）求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值；（2）求点到直线的距离与点到抛物线焦点距离之和的最小值.【变式3】已知，点的坐标为，点、分别在图中抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，那么的周长的取值范围为．例5、已知抛物线上存在三点，且的重心为抛物线的焦点为，则_______.微信号：AA-teacher;微信公众号：数学第六感【变式】已知抛物线的焦点为，若该抛物线上存在四点、，满足

6、，则_______.例6、直线过，且与抛物线交于两点，且，则直线的方程为_________;_______.例7、抛物线的焦点为,若过点的直线与抛物线相交于两点,若,则直线的斜率为_______.【变式】【2014新课标】已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若,则_______.例8、过抛物线的焦点作弦，点、，且，则_____.【变式1】已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，若点到该抛物线焦点的距离为，则_____.微信号：AA-teacher;微信公众号：数学第六感【变式2】

7、过抛物线的焦点作弦，点、，且，则重心的横坐标为_____.【变式3】过抛物线的焦点作弦，点、，且，则_____.例9、抛物线的动弦长为，求弦中点到轴的最短距离.【变式】抛物线的动弦长为，求弦中点到轴的最短距离.例10、若抛物线上存在关于直线对称两点和，求实数的取值范围.例11、【2014四川】已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是____.例12、已知抛物线，过定点作两条互相垂直的直线,与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，设的斜率为，若已知弦的中垂线在轴上的截

8、距为，则弦的中垂线在轴上的截距为__________.微信号：AA-teacher;微信公众号：数学第六感例13、设为抛物线准线上的任意一点，过点作曲线的两条切线，设切点为.直线是否过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由.例14、过抛物线的焦点作相互垂直的两条直线,抛物线与交于点与交于点．证明：无论如何取直线,都有为一常数.例15、抛物线的焦点恰是