离散数学 教学课件 作者 李盘林 第07章.ppt

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1、第七章半群与群7.1半群和独异点的定义及其性质7.2半群和独异点的同态与同构7.3积半群7.4群的基本定义与性质7.5置换群和循环群7.6子群与陪集7.7群的同态与同构退出7.1半群和独异点的定义及其性质定义7.1.1给定，若⊙满足结合律，则称为半群。可见，半群就是由集合及其上定义的一个可结合的二元运算组成的代数结构。定义7.1.2定，若是半群且○有幺元或○满足结合律且拥有幺元，则称为独异点。可以看出，独异点是含有幺元的半群。因此有些著作者将独异点叫做含幺半群。有时为了强调幺元e，独异点表为。如果半群中的集

2、合S是有限的，则称半群为有限半群，对于有限半群可以给出下面有趣定理。定理7.1.1为有限半群(x)(x∈S∧x⊙x=x)本定理告诉我们，有限半群存在等幂元。定义7.1.3给定半群，若⊙是可交换的，则称是可交换半群。类似地可定义可交换独异点。定义7.1.4给定半群和g∈S，以及自然数集合N，则g为的生成元:=(x)(x∈S→(n)(n∈N∧x=gn))此时也说，元素g生成半群，而且称该半群为循环半群。类似地定义独异点的生成元g和循环独异点，并且规定g0=e。定理7.1.2每个循环独异点都

3、是可交换的。可见，○是可交换的，故是可交换的。显然，每个循环半群也是可交换的。对于生成元的概念加以推广便得出生成集的概念。定义7.1.5给定半群及GS，则G为的生成集:=(a)(a∈S→a=⊙(G))∧

4、G

5、这里⊙(G)表示用G中的元素经⊙的复合而生成的元素。类似地定义独异点的生成集。定义7.1.6给定半群及非空集TS，若T对⊙封闭，则称为的子半群。类似地定义独异点的子独异点，应注意的是e∈P。定理7.1.3给定半群及任意a∈S，则<{a，a2，a3，…}，⊙

6、>是循环子半群。显然，a是<{a，a2，a3，…}，⊙>的生成元。故<{a，a2，a3，…}，⊙>是循环子半群。定理7.1.4给定可交换独异点，若P为其等幂元集合，则为子独异点。定理7.1.5设为独异点，则关于○的运算表中任两列或任两行均不相同。定理7.1.6给定独异点，对任意a，b∈M且a，b均有逆元，则(1)(a-1)-1=a。(2)a○b有逆元，且(a○b)-1=b-1○a-1。7.2半群和独异点的同态与同构在本节里，将把代数结构之间的同态与同构的概念应用于半群与独异点。有些定义与性质，几乎完全就是平行地搬过来。主要内

7、容如下：定义7.2.1给定两个半群与，则半群半群:=(f)(f∈TS∧(x)(y)(x，y∈S→f(x⊙y)=f(x)f(y))并称f为从到的半群同态映射。由定义可以知道，半群同态映射f可以不是唯一的。与前面的定义类似，根据半群同态映射f是单射(一对一)、满射、双射，把半群同态映射f分别定义半群单一同态映射、半群满同态映射和半群同构映射。如果两个半群，存在一个同构映射，则称一个半群同构于另一个半群。由于代数结构之间的满同态具有保持运算的各种性质，对于半群满同态当然完全适用。下面给出一个半群同态保持等幂性的定理。

8、定理7.2.1如果f为从到的半群同态映射，对任意a∈S且a⊙a=a，则f(a)○f(a)=f(a)。由于半群同态映射是个函数，因此可对半群同态映射进行复合运算，从而产生新的半群同态映射。请看如下定理：定理7.2.2如果g是从到的半群同态映射，h是从到的半群同态映射，则hog是从到的半群同态映射。定义7.2.2若g是从到的半群同态映射，则称g为半群自同态映射；若g是从到的半群同构映射，则称g为半群自同构映射。定理7.2.3给定半群，如果A={g

9、g为

10、，⊙>到的半群自同态映射}且o是函数复合运算，则为半群。由于恒等映射i是复合运算o的幺元，因此可得下面定理：定理7.2.4给定半群，若B={h

11、h为到的半群自同构映射}，o为函数复合运算，则是独异点。定理7.2.5给定半群，又是从S到S的所有函数在复合运算o下构成的函数半群，则存在从到的半群同态映射g，或者说半群同态于。上面介绍半群同态及有关定理。下面