高二数学假期学习材料09.doc

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1、同二数学（第9讲）【教学内容.目标】6.66・7不等式的证明（三）（四）学习目标1、利用放缩法和判别式法证明强化知识的综合应用能力；2、掌握放缩思想、判别式思想，在解题屮的技巧；3、通过适当的换元使问题得到转化，变为熟知的问题，从而达到证题的目的；4、要重点掌握三角代换法及均值代换法；5、能够恰当地构造函数、构造图形进行证题。【知识讲解】1、由于证明不等式的需要，有时需舍去或添加一些项，使不等式一边放人或缩小，利川不等式的传递性，达到证题的n的，这种方法称之为放缩法。运用放缩法要注意放缩必须适度，放得过大或放得过小都不能达到证题的n

2、的。要证明不等式A/・3(Q+—+->a+—12J4L2丿⑴舍去或加上一吐项如2、判别式法在证明不等式中也有着广泛的应用，如果所要证明的不等式可转化为一个二次函数的值域问题，这个函数的定义域为R,则可运用判别式法达到证题目的。-般根据数学屮的实际问题及其特征，具体问题具体分析，观察是否与一元二次函数有关，或能

3、否通过等价变换转化为一元二次方程，根据其有实数解或无解建立不等关系求解实际问题。3、换元法的思想，是屮学的一种重要思想，它不仅在证明不等式吋有妙用。而且在其它方而也常有用武之地。例如解方程、解不等式等方而的问题经常要用到此种方法，故换元思想在高考试题屮常有体现。因此必须予以掌握。在不等式证明屮，三角代换法和增量法是常用的代换法。问题屮若已知兀‘+y，=/（aw/?一），可设x=acos&,y=asin&；22若已知x2+y2<1,可设x=rcos0,y=rsin^（

4、r

5、<1）；若己知：*+右=1，则亦可设兀=acos0,y=Z?s

6、in^等。4、关于对称式（任意互换两个字母，代数式不变）和给定字母顺序（如a>b>c）的不筹式，则常用增量法进行换元称之为“设差换元”，换元的日的是通过换元达到减元的日的，以使问题化难为易，化繁为简。5、证明不等式常用方法屮，还有利用函数的单调性。不过需构造一•个反应问题特征的函数，视所证的不筹式的字母为这个函数的白变量，此外这个函数必须在定义域内是单调函数。从而可利用单调性來证明不等式。6、有些具有儿何特征的代数式，经常构造相关儿何图形。进而可利用儿何图形的儿何特征证明不等式。【典型例题分析】例1：求证：l

7、l^3o3Uirrx+tanx+1（2_£

8、]证明:令tanx=/,记f（f）=y=—Jw/?,则（y-l）f?+（y+1“+y—1=0。①当y—1=0时，上式/有解：/=0；②当y—1H0吋，A=（y+l）2-4（y-l）2>0,即3/-10y+3<0,/.-

9、不为0两种情况，只有当二次项数为非零吋，才可用判别式法处理。例2：若a〉2,求证：log“(a+l)vlog(“_])a。••誉Ug如I)畑(T

10、)d。证明:•/(7>2,二Io艮(q+1)〉0,log(/])a>0。loS(fl-i)a说明：本题证明时运用了作商比较法，并重点运用了基本不等式进行放缩，并结合了对数函数y二logflx(a>2)时的单调性进行放缩，体现多种证明方法的综合运用。例3：已知a、b、c>0

11、,证明：yja2+ah+h2++/?c+c?+y/c2+ca+a2〉*

12、(g+/?+c)。证明:vy/a2+ab+b2=b}a+—2丿+%〉4Ab+7②,JS+r③,①+②+③原不等式即得到证明。说明：本题体现了利用配方法进行放缩的思想，如何恰当地配方是本题的关键，如果:yja2+ab+b2=y](a+h)2-ab眾总rH"-呵心25...1+诣+洽+・・・+于〉2(血—VI)+2(d切+…+2(V

13、^ZI-乔)1Q=2(Jn+1_1)。乂丁__jk]=2(-Jk—1),k=1,2,…n。说明：①本题采取增大分母或减小分母从而达到缩或放的Fl的。②通过放或缩之厉的式子可用裂项法求和从而达到目的。例5：求证：—+—+—<2(«g?/