蒙特卡罗方法及应用.pdf

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1、物理与工程Vol.12No.3200245①蒙特卡罗方法及应用1211尹增谦管景峰张晓宏曹春梅1(华北电力大学物理教学部,河北保定071003)2(河北省保定市环境保护监测站,河北保定071000)(收稿日期:2002-01-07)摘要介绍蒙特卡罗方法的基本原理及其在计算物理中的应用.关键词蒙特卡罗方法THEMONTECARLOMETHODANDITSAPPLICATION1211YinZengqianGuanJingfengZhangXiaohongCaoChunmei1(DepartmentofPhysic

2、s,NorthChinaUniversityofElectricPower,Baoding,Hebei071003)2(EnvironmentalDetectingInstituteofBaodingCity,Baoding,Hebei071000)AbstractTheprincipleofMonteCarlomethodanditsapplicationareintroduced.KeyWordsMonteCarlomethod可以追溯到18世纪著名的蒲丰问题.17771引言年,法国科学家蒲丰(Buffon

3、)提出用投针试验计算圆周率π值的问题.这里我们用蒲丰问蒙特卡罗方法,又称随机抽样方法,是一题来初步说明蒙特卡罗方法的基本原理和解种与一般数值计算方法有本质区别的计算方决问题的基本手续.法,属于试验数学的一个分支,起源于早期的蒲丰问题是这样一个古典概率问题:在用几率近似概率的数学思想,它利用随机数平面上有彼此相距为2a的平行线,向此平面进行统计试验,以求得的统计特征值(如均任意投一长度为2l的针,假定l

4、发展,蒙特卡罗方法已任意条平行线相交的概率可以求出,由下面经在原子弹工程的科学研究中发挥了极其重的分析可知,此概率与所取针长2l、平行线间[1,2]要的作用,并正在日益广泛地应用于物理距2a有关,并且包含有π值.在这里,任投一工程的各个方面,如气体放电中的粒子输运针的概率含义有以下三点:(1)针的中点Ml[3～5]过程等.本文介绍蒙特卡罗方法的基本在平行线之间等概率落入,即Ml距平行线的原理及其在计算物理中的应用.距离x均匀分布在区间[0,a]之内;(2)针与ππ线的夹角θ均匀分布在区间-,之内;2蒙特卡罗方法

5、的基本原理22(3)x与θ互相独立.就数学特性而言,蒙特卡罗方法的发展如图1所示,建立与平行线垂直且原点①本文工作获华北电力大学“大学物理教学研究”教改项目基金资助.46物理与工程Vol.12No.32002然,这是一个均匀分布,即针中心处于区间(x,x+dx)内的概率为dxdP2=(2)a这样,一次投掷,针中心落入(x,x+dx)且与线相交的概率为2xdP=P1dP2=arccosdx(3)πal则一次投掷,针与线相交的总概率为l2x2lP=∫dP=∫arccosdx=(4)0πalπa图1蒲丰问题的概率分析

6、2l即:π=(5)在某一条平行线上的x轴,不失一般性,假定Pa从(5)式可见,可利用投针试验计算π值:设针的中心处于图示中的x轴上.由于对称性,投针N次,其中n次针与线相交,则可用频我们只需分析针中心处在x∈(0,a)范围的情况即可.令探针中心的坐标值为x,显然,率值n/N作为概率P的估计值,从而求得π的估计值为只有x≤l时才可能发生相交的事件.我们来2lN分析在条件x≤l满足时,针与线相交的概π≈(6)anx率:只有当θ≤θ0=arccos时才能相交,且这就是早期的用频率值作为概率近似值的方l相交的概率为法的

7、应用实例,表1是在历史上一些有名的[2]2x用投针试验计算π值的结果,其中针长以aP1=arccos(1)πl为单位.下面再来分析针中心位置在轴上的分布,显表1投针试验计算π值的结果实验者时间(年份)针长投针次数相交次数π的估值Wolf18500.85,0002,5323.1596Smith18550.63,2041,218.53.1554DeMorgan,C18601.0600382.53.137Fox18840.751,0304893.1595Lezzerini19010.833,4081,8083.141

8、5929Reina19250.54192,5208593.1795需要指出的是,上述由投针试验求得π子的输运过程及粒子输运的总效应,若要用的近似值的方法,是进行真正的试验,并统计多次掷骰子的方法近似求出就是不可能的了.试验结果,要使获得的频率值与概率值偏差所以,在现代计算机技术出现之前,用频率近小,就要进行大量的试验,这在实际中,往往似概率的方法———抑或称为雏形时代的蒙特难以做到.可