朱韬初二坑题讲解活动.pdf

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1、朱韬初二坑题讲解活动第1、2讲----解析2015.5.30第1讲【例1】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，点D在直线AB上，点E在CA的延长线上，连接ED、EB，且ED＝EB，连接CD，取DE的中点M、BC的中点N，连接MN。求证：2MN＝3CD。解析：延长AD至F，使得AF＝AC，在BA上截取BG＝DA，∵AB＝AC，∠ABC＝30°，∴∠FAC＝∠EAB＝60°，∴△ACF为等边三角形，∴∠F＝60°，∴AB＝AC＝CF＝AF，∵EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB，在△EBG和△EDA中，EB=ED∠=EB

2、G∠EDABG=DA∴△EBG≌△EDA(SAS)，∴EG＝EA，∵∠EAB＝60°，∴△AEG为等边三角形，∴AE＝AG＝AB－BG＝AF－DA＝FD，在△ABE和△FCD中，AB=FC∠=EAB∠=DFC60AE=FD∴△ABE≌△FCD(SAS)，∴EB＝DC，∠EBA＝∠DCF，取BD的中点P，连接MP、NP，11则MP＝EB，MP∥EB，NP＝DC，NP∥DC，22∴MP＝NP，∠MPD＝∠EBA，∠DPN＝∠FDC，∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠EBA＋∠FDC＝∠DCF＋∠FDC朱韬初二坑题讲解活动第1

3、、2讲----解析＝180°－∠DFC＝120°，133∴MN＝NP＝CD，224∴2MN＝3CD．【例2】已知点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，AD、BC交于点F.(1)求证：DE＝DB；(2)若BE⊥AC，EF＝2，DF＝3，求AB的长；1BG3(3)若AD是△ABC外接圆的直径，G为AB上一点，且∠ADG＝∠C，=，2AG5求sin∠ABE的值.解析：(1)∵∠BED是△ABE的外角，∴∠BED=∠BAD＋∠EBA，∵∠CBD=∠CAD，∴∠EBD=∠CBD＋∠EBC=∠CAD＋∠EBC，∵点E是△A

4、BC的内心，∴AD、BE是△ABC的角分线，∴∠BAD=∠CAD，∠EBA=∠DBC，∴∠BED=∠EBD，∴DE=DB．(2)∵BE⊥AC，BE是△ABC的平分线，∴AB=BC，∴∠BAC=∠BCA，∴∠ECF=∠ECA=∠CAD，∴∠ECF=∠CBD，EC=AE，∴△CEF∽△BDF，∵EF=2，DF=3，∴DB=DE=5，2101016∴CE=5×=，AE=CE=，∴AF=，3333设CF=2x，则BF=3x，AB=BC=5x，∵AF是△ABC的角平分线，朱韬初二坑题讲解活动第1、2讲----解析ABBF53xx10x∴=，即=，

5、∴AC=，ACCFAC2x3221610x322根据角分线长公式，AF=AB·AC－BF·CF，即=⋅−⋅=5x32xxx，33326106解得x=，AB=5x=．33(3)不妨设AG=5，BG=3，则AB=8，11∵∠ADG=∠C=∠ADB，22∴BG是△ABD的平分线，ADBG3∴==，BDAG5∵AD是△ABC外接圆的直径，∴∠ABD=90°，AD3∴sin∠BAD==，BD5∴AD：BD：AB=5:3:4，∴BD=6，AD=10，∴AE=AD－ED=AD－BD=4，过点E做EH⊥AB，垂足为H，312416∴EH=A

6、E·sin∠BAD=4·=，AH=AE·=，55551624∴BH=AB－AH=8－=，5522221224125∴BE=EH+=BH+=，555EH15∴sin∠ABE===．BE55【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，点D在△ABC外，∠ADC＝135°，且∠ADB＝∠CDE，求证：AE＝CE。朱韬初二坑题讲解活动第1、2讲----解析法1：分析：在△ABC中，P是BC边上一点，则有SBPABAPsin∠∠BAPABsinBAPABP===。SCPACAPsin∠∠

7、CAPACsinCAPACP解析：∵∠BAD＝135°－∠ADB，∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝135°－∠ADB，∴∠BAD＝∠BDC，∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝45°，∴△ABD∽△DBC，ABDBAD∴==，BDBCDC∵∠ADB＝∠CDE，∴∠ADE＝∠CDF，AEADsin∠∠ADEADsinCDF∴==，ECCDsin∠∠CDECDsinADF2ADsin∠ADFAFABABBDAD∵====，CDsin∠CDFFCBCBDBCCDsin∠ADFAD∴=，sin

8、∠CDFCDAEADsin∠∠∠CDFsinADFsinCDF∴===1，ECCDsin∠∠∠ADFsinCDFsinADF∴AE＝CE．法2：辅助线：将△ABD绕B点旋转90°得到△A’BD’，连接D