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1、4.1不定积分*基本积分表*基本积分法：利用基本积分表。4.2换元积分法一、第一换元积分法(凑微分法).二、常用凑微分公式三、第二换元法,注:以上几例所使用的均为三角代换,三角代换的目的是化掉根式,其一般规律如下:当被积函数中含有a)可令b)可令c)可令Word资料当有理分式函数中分母的阶较高时,常采用倒代换.四、积分表续4.3分部积分法分部积分公式：(3.1)(3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算.一般地,下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m,n都是正整数).5.1定积分的概念5.2定积分的性质两
2、点补充规定：(a)当时,(b)当时,.性质1性质2(k为常数).性质3.性质4性质5若在区间上有则推论1若在区间上则推论2性质6(估值定理)设M及m分别是函数在区间上的最大值及最小值,则性质7(定积分中值定理)如果函数在闭区间上连续,则在上至少存在一个点,使Word资料5.3微积分的基本公式一、引例二、积分上限的函数及其导数：定理2若函数在区间上连续,则函数就是在上的一个原函数.三、牛顿—莱布尼兹公式定理3若函数是连续函数在区间上的一个原函数,则.(3.6)公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式.5.4定积分的换元法积分法和分部积分法一、
3、定积分换元积分法定理1设函数在闭区间上连续,函数满足条件：（1）且；（2）在(或)上具有连续导数,则有.(4.1)公式(4.1)称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似.但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：（1）用把变量x换成新变量t时,积分限也要换成相应于新变量的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；（2）求出的一个原函数后,不必象计算不定积分那样再把变换成原变量x的函数,而只要把新变量t的上、下限分别代入然后相减就行了.二、定积分的分部积分法或5.5广义积分一、无穷限的广义积分Word资料二、无
4、界函数的广义积分5.6定积分的几何应用一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量（总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下：(1)由分割写出微元根据具体问题，选取一个积分变量，例如为积分变量，并确定它的变化区间，任取的一个区间微元，求出相应于这个区间微元上部分量的近似值，即求出所求总量的微元；(2)由微元写出积分根据写出表示总量的定积分微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍
5、微元法在几何学与经济学中的应用.应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1)所求总量关于区间应具有可加性，即如果把区间分成许多部分区间,则相应地分成许多部分量,而等于所有部分量之和.这一要求是由定积分概念本身所决定的;(2)使用微元法的关键是正确给出部分量的近似表达式，即使得.在通常情况下，要检验是否为的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意的合理性.二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积（2）极坐标系下平面图形的面积Word资料曲边扇形的面积微元所求曲边扇形的面积三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周
6、而成的立体称为旋转体.这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元所求旋转体的体积四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元所求立体的体积5.7积分在经济分析的应用6.1空间解析几何简介一、空间直角坐标系在平面解析几何中，我们建立了平面直角坐标系，并通过平面直角坐标系，把平面上的点与有序数组(即点的坐标)对应起来.同样，为了把空间的任一点与有序数组对应起来，我们来建立空间直角坐标系.过空间一定点O,作三条相互垂直的数轴，依次记为轴（横轴
7、）、轴（纵轴）、轴（竖轴），统称为坐标轴.它们构成一个空间直角坐标系（图6-1-1）.空间直角坐标系有右手系和左手系两种.我们通常采用右手系.二、空间两点间的距离三曲面及其方程定义1在空间直角坐标系中，如果曲面上任一点坐标都满足方程，而不在曲面S上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程称为曲面S的方程,而曲面S就称为方程的图形空间曲面研究的两个基本问题是:(1)已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;(2)已知曲面方程，研究曲面的几何形状.平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面.Word资料可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方
8、程(1.3)来表示，反之亦然.其中、、、是不全为零常数.方程(1.3)称为平面的一般方程.柱面定义2平行于某定直线并沿定曲线C移动的直线所形成的轨迹称为柱面.这条定曲线C称为柱面的准线,动直线称为柱面的母线
