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1、椭圆高三备课组一.基本知识概要1椭圆的两种定义:①平面内与两定点F1,F2的距离的和等于定长的点的轨迹,即点集M={P
2、
3、PF1
4、+
5、PF2
6、=2a,2a>
7、F1F2
8、};(时为线段,无轨迹)。其中两定点F1,F2叫焦点,定点间的距离叫焦距。一.基本知识概要1椭圆的两种定义:②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹,即点集M={P
9、,0<e<1的常数。(为抛物线;为双曲线)2标准方程:(1)焦点在x轴上,中心在原点:(a>b>0);焦点F1(-c,0),F2(c,0)。其中(一个)2标准
10、方程:(2)焦点在y轴上,中心在原点:(a>b>0);焦点F1(0,-c),F2(0,c)。其中注意:①在两种标准方程中,总有a>b>0,并且椭圆的焦点总在长轴上;②两种标准方程可用一般形式表示:Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B),当A<B时,椭圆的焦点在x轴上,A>B时焦点在y轴上。3.性质:对于焦点在x轴上,中心在原点:(a>b>0)有以下性质:A.坐标系下的性质:①范围:
11、x
12、≤a,
13、y
14、≤b;②对称性:对称轴方程为x=0,y=0,对称中心为O(0,0);A.坐标系下的性质:③顶点:A1(-a,0),
15、A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b),长轴
16、A1A2
17、=2a,短轴
18、B1B2
19、=2b;(半长轴长,半短轴长);④准线方程:;或⑤焦半径公式:P(x0,y0)为椭圆上任一点。
20、PF1
21、==a+ex0,
22、PF2
23、==a-ex0;
24、PF1
25、==a+ey0,
26、PF2
27、==a-ey0;B.平面几何性质:⑥离心率:=(焦距与长轴长之比);越大越扁,是圆。⑦焦准距;准线间距⑧两个最大角焦点在y轴上,中心在原点:(a>b>0)的性质可类似的给出(请课后完成)。4.重难点:椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单的几何性质。5.思
28、维方式:待定系数法与轨迹方程法。6.特别注意:椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐标系有关。因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方程。二.例题:例1:(1)已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点,若椭圆的长轴长是6,且cos∠OFA=2/3。则椭圆方程为________________。(2)设椭圆上的点P到右准线的距离为10,那么点P到左焦点的距离等于_______。二.例题:(3)已知F1为椭圆的左焦点,A
29、,B分别为椭圆的右顶点与上顶点,P为椭圆上的点,当PF1⊥F1A,PO∥AB(O为椭圆中心)时,椭圆的离心率e=_______。(教材P页例1)。(4)已知椭圆上的点P到左焦点的距离等于到右焦点的距离的两倍,则P的坐标是_________。1)求离心率一般是先得到a,b,c的一个关系式,然后再求e;2)由椭圆的一个短轴端点,一个焦点,中心O为顶点组成的直角三角形在求解椭圆问题中经常用到;3)结合椭圆的第二定义,熟练运用焦半径公式是解决第(3)小题的关键。【思维点拨】例2:如图,设E:(a>b>0)的焦点为与,且。求证
30、:的面积。(图见教材P119页例2的图)【思维点拨】:解与有关的问题,常用正弦定理或余弦定理,并结合来解决。例3:若中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆与直线x+y=1交于A、B两点,M为AB的中点,直线OM(O为原点)的斜率为,且OA⊥OB,求椭圆的方程。【思维点拨】“OA⊥OBx1x2+y1y2=0”(其中A(x1,y1),B(x2,y2))是我们经常用到的一个结论.例4:已知椭圆的焦点是F1(-1,0),F2(1,0),P为椭圆上的一点,且
31、F1F2
32、是
33、PF1
34、和
35、PF2
36、的等差中项。(1)求椭圆方程;(2)若点
37、P在第三象限,且∠PF1F2=1200,求tan∠F1PF2。【思维点拨】解与△PF1F2有关的问题(P为椭圆上的点)常用正弦定理或余弦定理,并且结合
38、PF1
39、+
40、PF2
41、=2a来求解。例5:(1)已知点P的坐标是(-1,3),F是椭圆的右焦点,点Q在椭圆上移动,当取最小值时,求点Q的坐标,并求出其最小值。(2)设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,已知点P这个椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点P的距离是的点的坐标。三、课堂小结:1.椭圆定义是解决问题的出发点,要明确参数a,b,c,,
42、e的相互关系,几何意义与一些概念的联系.尤其是第二定义,如果运用恰当,可收到事半功倍的效果(如关于求焦半径的问题).2.在椭圆的两种标准方程中,总有a>b>0,并且椭圆的焦点总在长轴上;3.待定系数法和数形结合是最基本的方法与思想.在解题时要熟练运用.四、课外作业:教材P120闯关训练