函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全.doc

函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全.doc

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1、函数对称性、周期性和奇偶性规律一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性:对于函数,如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有都成立,那么就把函数叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。2、对称性定义(略),请用图形来理解。3、对称性:我们知道:偶函数关于y(即x=0)轴对称,偶函数有关系式奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式上述关系式是否可以进行拓展?答案是肯定的探讨:(1)函数关于对称也可以写成或简证:设点在上,通过可知,,即点上,而点与点关于x=

2、a对称。得证。若写成:,函数关于直线对称(2)函数关于点对称或简证:设点在上,即,通过可知,,所以,所以点也在上,而点与关于对称。得证。若写成:,函数关于点对称(3)函数关于点对称:假设函数关于对称,即关于任一个值,都有两个y值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0,则有可能会出现关于对称,比如圆它会关于y=0对称。4、周期性:(1)函数满足如下关系系,则A、B、C、或(等式右边加负号亦成立)D、其他情形(2)函数满足且,则可推出即可以得到的周期为2(b-a),即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称,则函数

3、一定是周期函数”(3)如果奇函数满足则可以推出其周期是2T,且可以推出对称轴为,根据可以找出其对称中心为(以上)如果偶函数满足则亦可以推出周期是2T,且可以推出对称中心为,根据可以推出对称轴为(以上)(4)如果奇函数满足(),则函数是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数满足(),则函数是以2T为周期的周期性函数。定理3:若函数在R上满足,且(其中),则函数以为周期.定理4:若函数在R上满足,且(其中),则函数以为周期.定理5:若函数在R上满足,且(其中),则函数以为周期.一、两个函数的图象对称性1、与关于X轴对称。换种说法:与若满足,即它们关于对称。2、与关于Y轴对称。

4、换种说法:与若满足,即它们关于对称。3、与关于直线对称。换种说法:与若满足,即它们关于对称。1、与关于直线对称。换种说法:与若满足,即它们关于对称。2、关于点(a,b)对称。换种说法:与若满足,即它们关于点(a,b)对称。3、与关于直线对称。4、函数的轴对称:定理1:如果函数满足,则函数的图象关于直线对称.推论1:如果函数满足,则函数的图象关于直线对称.推论2:如果函数满足,则函数的图象关于直线(y轴)对称.特别地,推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.5、函数的点对称:定理2:如果函数满足,则函数的图象关于点对称.推论3:如果函数满足,则函数的图象关于点

5、对称.推论4:如果函数满足,则函数的图象关于原点对称.特别地,推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.三、总规律:定义在R上的函数,在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中,只要有两条存在,则第三条一定存在。四、试题1.已知定义为R的函数满足,且函数在区间上单调递增.如果,且,则的值(A).A.恒小于0B.恒大于0C.可能为0D.可正可负.分析:形似周期函数,但事实上不是,不过我们可以取特殊值代入,通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者,先用代替,使变形为.它的特征就是推论3.因此图象关于点对称.在区间上单调递增,在区间上也单调递增.我们可以把该函数想象成是

6、奇函数向右平移了两个单位.,且函数在上单调递增,所以,又由,有,.选A.当然,如果已经作出大致图象后,用特殊值代人也可猜想出答案为A.2:在R上定义的函数是偶函数,且.若在区间上是减函数,则(B)A.在区间上是增函数,在区间上是减函数B.在区间上是增函数,在区间上是减函数C.在区间上是减函数,在区间上是增函数D.在区间上是减函数,在区间上是增函数分析:由可知图象关于对称,即推论1的应用.又因为为偶函数图象关于对称,可得到为周期函数且最小正周期为2,结合在区间上是减函数,可得如右草图.故选B3.定义在R上的函数既是奇函数,又是周期函数,是它的一个正周期.若将方程在闭区间上

7、的根的个数记为,则可能为(D)A.0B.1C.3D.5分析:,,∴,则可能为5,选D.4.已知函数的图象关于直线和都对称,且当时,.求的值.分析:由推论1可知,的图象关于直线对称,即,同样,满足,现由上述的定理3知是以4为周期的函数.,同时还知是偶函数,所以.5.,则,,,…,中最多有(B)个不同的值.A.165B.177C.183D.199分析:由已知.又有,于是有周期352,于是能在中找到.又的图像关于直线对称,故这些值可以在中找到.又的图像关于直线对称,故这些值可以在中找到.共有177个.选B.6:已知,,,…,,则(A).A.B.

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