弹性力学简明教程第三章.ppt

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1、第三节位移分量的求出第四节简支梁受均布荷载第五节楔形体受重力和液体压力例题第一节逆解法与半逆解法多项式解答第二节矩形梁的纯弯曲第三章平面问题的直角坐标解答1、逆解法：先设定各种形式、满足相容方程的应力函数，然后求应力分量，再根据边界条件来考察这些应力分量对应什么样的面力，从而得知所设定的应力函数可以解决什么样的问题2、半逆解法：针对所要求解的问题，根据弹性体的边界条件，先设定一部分或全部应力分量函数，从而导出应力函数，再考察这个应力函数是否满足相容方程，应力分量是否满足边界条件，若满足，这个结果就是正确的，若不满足，还须另作假设，重新考察§3－1逆解法和半

2、逆解法多项式解法当体力为常量，按应力函数求解平面应力问题时，应满足按求解⑶多连体中的位移单值条件。(c)⑵S=上应力边界条件,⑴A内相容方程对于单连体，(c)通常是自然满足的。只须满足(a),(b)。由求应力的公式是(d)2.逆解法──先满足(a),再满足(b)。步骤:(e)逆解法⑴先找出满足的解⑶在给定边界形状S下，由式(b)反推出各边界上的面力，⑵代入(d),求出从而得出，在面力(e)作用下的解答，就是上述和应力。逆解法逆解法没有针对性，但可以积累基本解答。例2二次式，分别表示常量的应力和边界面力。如图示。例1一次式对应于无体力，无面力，无应力状态。故

3、应力函数加减一次式，不影响应力。逆解法2a2aoyxoyxoyxbbbb2c2c例3逆解法设图中所示的矩形长梁，l>>h，试考察应力函数能解决什么样的受力问题？yxolh/2h/2(l>>h)解：按逆解法。1.将代入相容方程，可见是满足的。有可能成为该问题的解。2.由求出应力分量因此，在的边界面上，无任何面力作用，即3.由边界形状和应力分量反推边界上的面力。在主要边界（大边界）上，在x=0，l的次要边界（小边界）上，在x=0,l小边界上的面力如下图中(a)所示，而其主矢量和主矩如(b)所示。由此，可得出结论：上述应力函数可以解决悬臂梁在x=0处受集中力F作

4、用的问题。FFM(a)(b)⑶代入，解出；3.半逆解法步骤：半逆解法⑵由应力(d)式，推测的函数形式；⑴假设应力的函数形式（根据受力情况，边界条件等）；⑷由式（d），求出应力；半逆解法⑸校核全部应力边界条件（对于多连体，还须满足位移单值条件）。如能满足，则为正确解答；否则修改假设，重新求解。思考题半逆解法1.在单连体中，应力函数必须满足哪些条件？逆解法和半逆解法是如何满足这些条件的？2.试比较逆解法和半逆解法的区别。§3-2矩形梁的纯弯曲梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩/单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问题。问题提出h/2h/2lyx(l>>h

5、)oMM⑴由逆解法得出，可取，且满足⑵求应力(a)求解步骤：本题是平面应力问题,且为单连体，若按求解，应满足相容方程及上的应力边界条件。⑶检验应力边界条件，原则是:边界条件b.后校核次要边界（小边界），若不能精确满足应力边界条件，则应用圣维南原理，用积分的应力边界条件代替。a.先校核主要边界（大边界），必须精确满足应力边界条件。主要边界从式(a)可见，边界条件(b)均满足。满足。主要边界次要边界x=0,l,(c)的边界条件无法精确满足。次要边界用两个积分的条件代替当时，即使在边界上面力不同于的分布，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。式(d)的第一式自然满足

6、，由第二式得出最终得应力解(e)如果区域内的平衡微分方程已经满足，且除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件也都分别满足。则我们可以推论出，最后一个小边界上的三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）必然是满足的，因此可以不必进行校核。试对此结论加以说明。思考题§3-3位移分量的求出在按应力求解中，若已得出应力，如何求出位移？以纯弯曲问题为例，已知试求解其位移。问题提出1.由物理方程求形变求形变2.代入几何方程求位移求位移⑴对式(a)两边乘积分,⑵对式(b)两边乘积分,求位移⑶再代入(c),并分开变量，上式对任意的x,y都必须成立，故两边都必须为同一常

7、量。求位移由此解出求位移得出位移为3.待定的刚体位移分量，须由边界约束条件来确定。2.代入几何方程，积分求；归纳：从应力求位移步骤：3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量由物理方程求出形变；2.铅直线的转角故在任一截面x处，平面截面假设成立。纯弯曲问题的讨论：1.弯应力与材料力学的解相同。3.纵向纤维的曲率同材料力学的结果。故在纯弯曲情况下，弹性力学解与材料力学解相同。思考题2.试证明刚体位移实际上表示弹性体中原点的平移和转动分量，并应用本节的解答加以验证。提示：微分体的转动分量为弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材料力学的解答在应力、形变等方面完全一致。由

8、此是否可以说在纯弯曲情况下材料力学中的平截面假设成立？§3-4简支