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1、线性回归分析管理屮经常要研究变量与变量之间的关系，并据以做岀决策。前面介绍的检验可以确定两个变量之间是否存在着某种统计关系，但是如果检验说明两个变量之间存在着某种关系，我们还是不能说明它们之间究竞存在什么样的关系。本章介绍的冋归分析能够确定两个变量之间的具体关系和这种关系的强度。冋归分析以对一种变量同其他变量相互关系的过去的观察值为基础，并在某种精确度下，预测未知变量的值。社会经济现象中的许多变量之间存在着因果关系。这些变量之间的关系一般可以分为两类：一类是变量之间存在着完全确定的关系，即一•个变量能被一个或
2、若干个其他变量按某种规律唯一地确定，例如，在价格P确定的条件下，销住收入Y与所销售的产品数量之间的关系就是一种确定性的关系：Y=P・X・另一•类是变量之间存在着某种程度的不确定关系。例如，粮食产量与施肥量之间的关系就属于这种关系。一般地说，施肥多产量就高，但是，即使是在相邻的地块，采用同样的种子，施相同的肥料，粮食产景仍会有所差异。统计上我们把这种不确定关系称为相关关系。确定性关系和相关关系之间往往没有严格的界限。由于测量课差等原因，确定性关系在实际屮往往通过相关关系表现出来；另一方而，通过对事物内部发展变化
3、规律的更深刻的认识，相关关系乂可能转化为确定性关系。两个相关的变量之间的相关关系尽管是不确定的，但是我们可以通过对现象的不断观察，探索出它们Z间的统计规律性。对这类统计规律性的研究就称为冋归分析。冋归分析研究的主要内容有：确定变量之间的相关关系和相关程度，婕立冋归模型，检验变量之间的相关程度，应川冋归模型进行估计和预测等。第一节一元线性回归分析一、问题的由来和一元线性回归模型例7・1。某地区的人均月收入与同期某种耐用消费品的销售额之间的统计资料如表7・1所示。现要求确定两者之间是否存在相关关系。表7・1年份1
4、987198819891990199119921993199419951996人均收入1.61.82.33.03.43.84.54.85.25.4销售额(白万元)4.75.97.08.210.5121313.51415如果作一直角坐标系，以人均收入兀•为横轴，销售额开为纵轴，把表7・1中的数据画在这个坐标系上,我们可以看出两者的变化有近似于直线的关系，因此，可以川一•元线性回归方程，以人均收入为自变量，以销售额为因变量來描述它们之间的关系。即：y.=a^-bX/+e；(z=1,2,A,/?)其屮：儿•是因变量
5、Y的第i个观察值，石是H变量x的第i个观察值d与〃是冋归系数，n是样本容量，为对应于Y的第i个观察值的随机误差，这是一个随机变量。在上述线性模型屮，自变量X是个非随机变量，对于X的第i个观察值兀，Y的观察值兀是由两个部分所组成的:g和©,前者是一•个常数，后者是一个随机变量，所以也是一个随机变量。对于上述冋归模型屮的随机误差勺要求满足如下的假设条件：1、应当是服从正态分布的随机变量，即弓•满足“正态性”的假设。2、勺的均值为零,即EC・)=O,我们称勺满足“无偏性”的假设。3、勺的方差等于a2(^.)=<,这
6、就是说，所有的勺分布的方差都相同，即满足“共方差性”的假设。4、各个®间相互独立，即对于任何两个随机误差©和勺(心”其协方差等于零，即，Cov(e,.,e.)=0,(jH”)这称之为满足“独立性”的假设。综上所述，随机i吴差必须服从独立的相同分布。基于上述假定，随机变量的数学期望和方差分别是：E(yf)=a+b兀由此：)1〜N(d+Z?xpe;2)这就意味着，当时，开是一个服从正态分布的随机变量的某一个取值。如果不考虑式中的谋普项,我们就得到简单的式子：冃=a+bxi这一•式子称为Y对X的冋归方程。依据这一方
7、程在直角坐标系屮所作的直线就称为冋归直线。二、模型参数的估计和估计平均误差1、冋归参数的估计冋归模型屮的参数a与b在一般情况下都是未知数，必须根据样本数据（石，儿）来估计。确定参数a与b值的原则是要使得样本的冋归直线同观察值的拟合状态最好，即要使得偏差最小。为此，可以采用“最小二乘法”的办法來解决。对应于每一个心，根据回归直线方程（7・1）可以求出一个冃,它就是开的一个估计值。估计值和观察值之间的偏差©=（升-貝）。有n个观察值就有相应的"个偏差。要使模型的拟合状态最好，就是说要使n个偏差的总和最小。但为了计
8、算方便起见，我们以谋差的平方和最小为标准來确定冋归模型。这就要求“2“20=工（）1-冃）=工（兀-。-九）/=
9、;=1是个极小值。根据微积分中的极值定理，要使上式収极值，其对a与"所求的偏导数应为0,即=一2工（兀-a-如）=0=-2工（X-a-bx^x.=0经整理后可得：Xz=na+l^xi工W工兀+〃工兀「解上式，可得：皿-范心,）h=匕nn记戸=（&）/〃，。")5-加工利厂丄(D)足儿)a
