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1、24.1.2垂径定理24.1.2垂直于弦的直径永清县曹家务中学袁俊秀问题:你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗?赵州桥主桥拱的半径是多少?问题情境活动一答:如果一个图形沿着一条直线对折,直线两旁的部分能够完全互相重合,那么这个图形叫做______图形,这条直线叫做___________.轴对称它的对称轴2、我们学过的轴对称图形有什么?1、什么是轴
2、对称图形温故知新活动二思考圆是轴对称图形吗?实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折,重复几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?活动三●O圆是轴对称图形,它有无数条对称轴,任何一条直径所在直线都是它的对称轴.我发现了!圆的对称性及特性圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.用旋转的方法可以得到:一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性●O(1)在含有一条直径AB的圆上再增加一条直径CD,两条直径的位置关系?(两条直径始终是互相平分的)(2)把直径AB向下平移,
3、变成非直径的弦,弦AB是否一定被直径CD平分?仔细观察并回答·OABCDE即直径CD平分弦AB,并且平分及⌒AB⌒ACB⌒⌒AC把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,点A与点B重合,AE与BE重合,与,与与分别重合.AD⌒BD⌒BC如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E.(1)圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(2)你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么?弧:⌒⌒⌒⌒AC=BC,AD=BD,AE=BE活动四垂径定理●OABCDM└如图∵CD是直径,CD⊥AB,∴AM=BM,⌒
4、⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.活动五归纳问题2平分弦的直径有什么特点?AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.过点M作直径CD.下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?●O●MABCD由①CD是直径③AM=BM可推得②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.解得:R≈27.9(m)BODACR在Rt△OAD中,由勾股定理,得即R2=18.72+(R-7.2)2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
5、OA2=AD2+OD2例2:解:如图,用表示主桥拱,设所在圆的圆心为O,半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与AB相交于点D,根据前面的结论,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高.AB⌒AB⌒AB⌒理论联系实际AB=37.4,CD=7.2AD=0.5AB=0.5×37.4=18.7OD=OC-CD=R-7.2活动六2.已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点。你认为AC和BD有什么关系?为什么?证明:过O作OE⊥AB,垂足为E,则AE=BE,CE=DE。∴AE-CE=
6、BE-DE即AC=BD.ACDBOE1.在半径为30㎜的⊙O中,弦AB=36㎜,则O到AB的距离是=,OABP24mm注意:解决有关弦的问题,过圆心作弦的垂线,或作垂直于弦的直径,也是一种常用辅助线的添法.随堂练习活动七3.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径.·OABE解:答:⊙O的半径为5cm.在Rt△AOE中随堂练习驶向胜利的彼岸挑战自我画一画直径.已知:如图,⊙O中,弦AB∥CD,AB<CD,MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有:图中相等的劣弧有:.ON
7、FEOMNABCD再回首谈谈你的收获小结直径平分弦垂直于弦的直径=>直径平分弦所对的弧直径垂直于弦直径平分弦(不是直径)直径平分弦所对的弧=>1、圆的轴对称性2、垂径定理及其推论的图式课堂小结注意:解决有关弦的问题,过圆心作弦的垂线,或作垂直于弦的直径,也是一种常用辅助线的添法.独立作业!作业:习题24.1练习9谢谢,再见!