资源描述：
《微分方程的基础知识与练习.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、微分方程的基础知识与练习(-)微分方程基本概念：首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。(1)一条曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2兀，求这条曲线的方程。解设曲线方程为y=y(x)・由导数的几何意义可知函数y=y(x)满足©J(1)dx同时还满足以下条件：兀=1时，y=2(2)把(1)式两端积分，得>'=jIxdx即y=x~+C(3)其中C是任意常数。把条件(2)代入(3)式，得C=1,由此解出C并代入(3)式，得到所求曲线方程：y=x2+1(4)(2)
2、列车在水平肓线路上以20m/5的速度行驶；当制动时列车获得加速度-0.4/H/52.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解设列车开始制动后十秒时行驶了S米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数$=$([)满足:此外，还满足条件:d2s=-0.4/=0时，5=0,v=—=20dt(5)式两端积分一次得：dsv=——dt—0.4/+C
3、(5)(6)(7)再积分一次得其中G'C?都是任意常数。扌巴条件“/二0时卩二20”禾口“（二0时$二0”分别代入（7）式和（8）
4、式,得C,=20,C2=0把C「C2的值代入（7）及（8）式得v=-0.4/+20,（9）5=-0.2r2+20/（10）在（9）式中令v=0,得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：t==50（5）。0.4再把（=5代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程s=—0.2x50?+20x50=500（m）.上述两个例子中的关系式（1）和（5）,（6）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。1.微分方程的概念一般地，凡含有未知函数、未知用数的］数及自变量的方程，叫做微分方程。未知函数是…元函数的方
5、程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。我们只硏究常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程y⑷_4广+10卩12卩+5y=sin2x是四阶微分方程。一般地，〃阶微分方程的形式是F（x,y,八..•，y（"））=0,（11）其中F是个h+2变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，y（”）是必须出现的，而兀,y,儿…,等变量则可以不出现。例如阶微分方程y（"）+l=O中，
6、除外，其他变量都没有出现。由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数，就是说，找出这样的函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解。例如，函数（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函数（8）和（10）都是微分方程（5）的解。如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。例如，函数（3）是方程（1）的解，它含有一个任意常数，而方程（1）是一阶的，所以函数（3）是方程（
7、1）的通解。又如，函数（8）是方程的解，它含有两个任意常数，而方程（5）是二阶的，所以函数（8）是方程（5）的通解。由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，必须确定这些常数的值。为此，要根据问题的实际情况提出确定这些常数的条件。例如，例1中的条件（2）,例2中的条件（6）,便是这样的条件。设微分方程中的未知函数为y=y（Q，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是或写成V
8、.V=A.=Jo其中％,儿都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的
9、条件是：或写成yIv=Vo=v0，y'lx=Xo=Jl其中兀o，和W都是给定的值。上述条件叫做初始条件。确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解。例如（4）式是方程（1）满足条件（2）的特解；（10）式是方程（5）满足条件（6）的特解。求微分方程f^y）满足初始条件y
10、y°的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作j-/（兀刃，>,L=xo=.yo・二阶微分方程的初值问题是3、例题例1验证：函数(13)是微分方程的解。x=C}coskt+C2sinkt与+心。dt2解求出所给函
11、数（14）的导数(lx—=-kCsinkt+kC2coskt,(14)(15)dt2=-k2Cjcoskt-k2C2sinkt=-k2(C}coskt+C2sinkt)d2x把X及北的表达式代入方程（15）得dt-k2（Gcoskt+C2sinkt）+k2（C】coskt+C2sinkt）=0函数（14）及其导数代入方程（15）后成为一个恒等式，因此函数（方程（15）的解。用程序来实现：»symsktClC2;»x=C1*cos（k*t）+C2*sin（k*t）;»diff（x,
