探究函数与图象的交点个数问题【精品资料】.doc

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1、探究函数y=/与y=log。兀图象的交点个数问题函数y=ax与y=logux(a>0,且aH1)互为反函数，在同一坐标系屮，它们的图象的交点个数取决于a的取值.在此，笔者以函数与方程的思想为指导，运用导数的知识来探究它们图象的交点个数问题.探究由、yiogn①②(其中x>0,y>0)(1)当°>1时①+②，得y+aY=ax+x.令f(x)=ax+x.x>0.则/(刃=/(兀)，即f(ax)=f(x).Ta>1,:./(x)为增函数，ax•两边取自然对数，得Ina'=lnx,即xln6i-lnx=0.令g(x)=xlnd-lnx,x>0.求导，得g'(x)=Ina—丄.令g

2、'(_r)=0,得无=^―.xIn(7当X变化吋，/(x),g(x)的变化情况如下表:X(0,亠)ma1a(,+GC)mag'⑴—0+gCO极小值7由上表可知，当x=—时,g(x)极小値=1-ln」一=l+ln(lna)aIn6?Tg(兀)只有一个极值,gOOmin=l+ln(lna).(i)当l+ln(lnt?)>0,即a>厂吋，方程g(x)=0无解，此时函数y=ax与y=bg“x的图象没有交点；(ii)当1+ln(lna)=(),即a=ee时，方程g(x)=0有一*解，此II寸函数y=ax与y=ogax的图象有一个交点；(iii)当l+ln(lna)<0,即

3、+oo；当兀T+oo时，g(x)->+oo,二方程g(x)=0有两解，此时函数y/与y=log“x的图象有两个交点.(2)当Ovavl时由①、②，消去y,得=x③X由于/>0,且Ovavl,故vl,即0vxv1・对③式两边取自然对数，得dTz=ln兀，即.a两边取自然对数，得xln6/=ln—・Ina令方⑴=In也込一兀Ina,xe(0,1).求导，得hx)=—Ina.Ina%Inx由hx)=0,得xlnjc=-^—•令0(x)=xlnA：—,xg(0,1).则0(兀)=lnx+l.Inf/

4、a由0(x)=O,得兀=一.当xw(0,—)吋，00)<0；当xw(-,l)吋，0(x)>0・eee・••当兀=1吋，0(兀)min=0(1)=_1_J-•eeexa(i)当--———>0,tl

5、Jtz>—时，(p{x)n0恒成立・.IxInx>—!—,*.*0<6Z<1,0

6、，此时函数y=ax^y=logax的图象有一个交点.(ii)当--———<0,即0va<丄时,Vlim(p{x)=lim(p{x)=———>0,且卩(兀)在(0,1)内exaecx->o+入一>厂Ina连续，・••存在mg(0,-),ng(-,1),使得(p(m)=(p(n)=0,/.hm)=hf(n)=0.ee当X变化时，//(兀)/(兀)的变化情况如下表：F而证明，/2(^)<0,/?(-)>0.2”丄、,aeh(ae)=Ina-aea=-l-aea,0

7、--aca-aec(丄Ina+1)丄+1)=0.eee(・•・F(a)在(0丄)内是增函数，乂JF(a)在(0丄］上连续，・••当0va＜丄时,F(a)0.eeececei1i•・・OVdV—,・<6Ze<-<1,又・・・当兀—0+11寸,力(兀)T+OO;当无寸,ece11I/?(x)-»-0

8、0,且/?(x)在(0,1)内连续，结合加朗的单调性,・•・h(Q在区间(0,/),(/,-),e(丄,1)内各有一•个解•・••此时函数y=/与y=1。艮x的图象有三个交点.€综丄所述，函数y=ax与y=logrtx(a>0,且gH1)图象的交点有如卜•情况：当d>旷时,没有交点；当a=&吋，有一个交点；当lvavb时，有两个交点；当丄"V1时,有一个交点；£当0vd<2时，有三个交点.精品资料，你值得拥有!