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1、数学分析习作课论文云南人学数学分析习作课(3)论文题H：函数项级数学院：物理科学技术学院专业：数理基础科学姓名、学号：任课教师：时间：2011-01-01摘要数学分析与初等函数的根木区别在于引入了极限运算(微分与积分的实质也是极限运算)，极限运算应用到求和运算上就是级数的概念。由于有限求和运算可以与极限运算，求导运算或积分运算交换次序，所以讨论级数与极限运算，求导运算或积分运算的交换次序问题就成为级数理论的一个基木问题。函数项级数的一•致收敛性是数学分析课程教学屮的一个难点，也是学生最难掌握的内容之一。-致收敛概念不仅出现于函数项级数部分，还出现于含参变量积分部分(它保证了积分运算与其他
2、运算的可交换性),可以说，一致收敛性是数学分析，乃至整个分析学小最重要的概念是学好如泛函分析，偏微分方程等后继课稈的必备基础。因此在函数项级数部分第一次出现一致收敛概念时，必须将问题的背景，引人一致收敛概念的意义讲清楚，使学生从木质上理解它，做到终身不忘。关键词：数项级数的性质及具应川.函数列与函数项级数的确定的函数的连续性、可积性与可微性.在一致收敛的条件下证明各项分析性质参考文献：数学分析(第二版)上、下册高等教育岀版社复旦大学数学系21.函数项级数的概念设un(x)(n1,2,3,...)是定义在实数集X上的函数，称n1n(x)ul(x)u2(x)u3(x)…是函数项级数，并称Sn
3、(x)uk(x)是该级数的n项部分和。kIn若对X中的一点x0,数项级数un(xO)收敛，就说函数项级数un(x)在x0点收敛。nIn1否则就说它在xO点发散。若对X屮的任何一点x,级数都收敛，就说函数项级数un1n(x)在X上收敛，这时，对每一个xR级数un(x)收敛，记此和为S(x),即n1un1n(x)S(x)o1.函数项级数(或函数列)-•致收敛的定义设有函数列｛Sn(x)｝(函数项级数un(x)),若对任给的0存在只依赖于的正整n1数"(),使得当门N()时，不等式Sn(x)S(x)
4、。(对函数项级数，此式可写为
5、rn(x)
6、
7、kn1uk对X上的一切x都成立，则称｛Sn(x)｝
8、在X上一•致收敛于S(x)o(x)
9、)2.一致收敛级数的性质3性质1若在［a,b］±,函数列｛Sn(x)｝每一项Sn(x)都连续,且｛Sn(x)｝一•致S(x),贝I」其极限函数S(x)也是在［a,b］上连续。性质2设｛Sn(x)｝一致收敛于S(x),每一Sn(x)都在［a,b］±连续,那么limSn(x)clxS(x)dxlimSn(x)clx且函数列Sn(t)dt也在［a,b］上一•致收敛于nabbbxaanaxaS(t)dto性质3若在［a,b］±函数列｛Sn(x)｝每一项都有连续导数，｛Sn(x)｝收敛于S(x),｛S，n(x)｝—致收敛于(x),则S，(x)(x),亦即ddli
10、mSn(x)limSn(x),且此时ndtdtnSn(x)在［a,b］上也是一•致收敛的。和的连续性：若在［%b］上级数un(x)的每一项un(x)都连续，且un(x)-致收敛于nIn1S(x),则S(x)也在［a,b］±连续。逐项求积：设un(x)在［a,b］上一致收敛于S(x),且每一项un(x)在［a,b］上都连续,则un(x)dxS(x)dxnlabbbaau(x)dx,且在［a,b］JL.函数项级数u(t)dt也一nInlanx致收敛于S(t)dtoax逐项求导：若在［a,b］上级数un(x)的每一项un(x)都具有连续导数u'n(x),且n1n1n(x)-致收敛于(x),又u
11、n(x)收敛于S(x),则S'(x)(x),亦即n14ddun(x),且un(x)—致收敛于S(x)。un(x)dtnldtnIn1例几何级数xn在区间[a,a](0a1)上—致收敛；但在(1,1)内非一致收敛n0xnan证在区间［1a［a,a][a,aa,a]1］上，a有supSn(x)S(x)sup0,(n).•致收敛，而在区间(1,1)内，取xnnnnln(n1,1)(lxnnn11,1)1xnsup
12、Sn(x)S(x)
13、sup1n).非一致收敛。习题),fn(x)对定义在区间［0,2n2n2x,]上的函数列122nx,2nn10,x,0x,2n11(n1,1-n证明：limfn(
14、x)0,但在［0,1］上不一•致收敛证0x1时，只要nx1,就有fn(x)0.因此，在(0,1]上有f(x)limrn(x)0.fn(0)0,f(0)limfn(0)0.于是，在[0,1]上有nn51f(x)1imfn(x)0.但由于max
15、fn(x)f(x)
16、fnn0,(n),nx[0,l]2n因此，该函数列在［0,1］上不一•致收敛。4・-•致收敛级数的判别法Theorem1(函数项级数一致收敛的Cauchy收敛原理)P69一7
