资源描述：
《数学分析习题解答.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、§17.1多元函数微分学1・求下列函数的偏导数:(1)"xbJ=2xy,=x2;(2)z=ycosx0=・ysinx,zy=cosx;z=―—乙-—■$•U2+y2Y(x2+y2y(4)z=ln(x24-j2)XCy2心F+y2'(5)z=Qx(6)z=arctan—y]"y_■y_x1+(2)2兀苕+厂十+y-（7）z=心严）J=+巧诊cosg)二y严3)[1+XUCOS(Xx)],Zy=[1+xycos(xy)]xesin(xy，);(9)u=(xy)£比=zy(xyY'uy=zx(xy):'uz
2、=(可丁In以);(10)u=0ur=y~xy'uv=zy:''x'lnx,w.=x'"y'InxIny;2•设/(x,y)=x+(V-l)arcsin，求£(兀,1)解法1：/(x,l)=HL—j=，则/(x,l)=10卜x/y2yjxy解法2:/(x,l)=x+0%rcsinVxx,/v(x,l)=13.（），,考察函数f在原点（o,o）的偏导数。-ysin—，天2+设/(x,y)=.x~+y~?0,F+),2=0解：因为limA0+D.,0）-/（0,0）=lim0-0=D醐Dv.。D,・“打少卩
3、丁半匕•少）'（））=呵冒r不存在.所以，/◎,）；）在原点关于X的偏导数为—y'X—y）0,关于y的偏导数不存在。4.证明函数z=Jx"在点（0,0）连续但偏导数不存在.证明：记兀=ycosqy=rsin(7则(兀,刃(0,0)r()•而/(0,0)=0.limyjx2+y2=limr=0.所以limJx~+y2=0=/（0,0）,即"J/+），在点（0,0）连（x.y）（0,0）V■r0（Ay）®（0.0）V*V续.然而，何佗」［W帆半1不存在，即£（0,0）不存在，同理厶（（）,0）不存在.X—片
4、X/（X,尹）=5.考察函数0,2+=°在点（0,0）处的可微性解：/；(0,0)=lim/(V-0)-/(°-0)=lim=0,同理A(0,0)=0.而x0x*0•lim-/(x,y)・/v(0,0)x-jC(0,0)y=lim厂singcosgsin—=0.(r=^x1+y2)。所以，r0f?r0厂¥f(x,y)=/(0,0)+/v(0,0)+厶(0,0))，+o(厂)。即函数/在点(0,0)处可微。°••x^y八:;°•八对+)厂0,6.证明函数/a,y)=p2+r在点(0,0)连续且偏导数存在，但
5、在此点不可::0,x2+y2=0,微。证明：记兀=gcosqy=gsing,则(x,y)®(0,0)等价于g®0.2(1)limf(x,=lim-y2=lim^cos2qsinq=0=/(0,0),即/在点(0,0)处连续。(XJ)(0,0)(儿刃(0.0)兀一+y-go"“cc、v/(Dv,o)-/(0,0)c—、r/(0,D)-/(0,0)rnn肿〒(2)/r(0,0)=hm—-————=0,f(0,0)=lim—=lim0=()o即函AdcoD〉测()Dvoxy数/(x,y)在点(0,0)处偏导数
6、存在。(3)设〜JD：+D「则当(DvDy)(0,0)厂0I尸3、3■c则lim-[/(x,y)-£(0,0)兀・£(0,0)刃二lim皿fsing=恤品gsing不存在，所以函数/厂0厂r0厂r0在点(0,0)处不可微.厂、（X?+y2）sinz,X2+尹2H0fG‘y）「J/+才7.证明函数1°，用=°在点（°,o）连续且偏导数存在，但偏导数在（0,0）不连续，而/在原点（0,0）可微.证明:由于皐鸚。）（宀臼血=o=/(0,0所以fgy)在点(0,0)连续。且£（0,0）=擁用+D當川化吧。•同理
7、厶（0,0）=0.XXIIcos『:/oo/2。収+)厂収+而lim2xsin—t=(0'0)JF+y(x.y)==0,lim2(x.y)(0.0)=COS-j1不存在O〜収+:r所以/在点(0,0)偏倒数存在。但当x2+y20时，fK^y)=2xsin^_=収+因此,)fx(x,y)不存在,从而fx(x,y)在点(0,0)不连续°同理可证fx(x,y)在点(0,0)不续。=0,(厂二帆+D,0)vD/-/v(0,0)Dy_rDv2+D；..lim_lim一/:—sin-p(DXDV颅(0.0)JdJ+
8、Dj(Jv)(0.0)JdJ+DJJd/+Dv2所以/在点(0,0)可微&求下列函数在给定点的全微分:(1)Z=X4+/-4x2y2在点(0,0),(1,1);Y(2)7=_——,在点(1,0)和(0,Do3+)厂解⑴因为2v=4x3-8xr，zy=4/-用)，在点(0,0)>(1,1)连续，所以函数在(0,0).(1,1)可微。^(0,0)=0,z/0,0)=0,zr(l,l)=-4,^,(1,1)=-4可得dz'(0,0)
