三角函数的积化和差与和差化积.ppt

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1、3．3三角函数的积化和差与和差化积(一)知识点1．三角函数的积化和差．2．三角函数的和差化积．(二)能力1．三角函数的积化和差与和差化积，这两种互化，对于求三角函数的值、化商三角函数式及三角函数式的恒等变形，都有重要的作用，它们的作用和地位在三角函数值的变形中是十分重要的．2．积化和差与和差化积公式的推导过程本身也运用了许多重要的教学思想和方法，在课堂教学中应作为重要一环给予足够的重视．(三)方法数学学习中，处处充满辩证法，和差化积与积化和差看似是一对矛盾，但它们又处在对立统一体中，这些公式中，从左到右为积化和差，而从右到左则成为和

2、差化积．在实际应用，他们又是相辅相成的.三角函数的积化和差(一)复习和、差角的正弦与余弦公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ所有这些三角公式都是从一个公式演化而来的，主要是证明了两角和的余弦函数公式．之后，利用换元法以及诱导公式，同角三角函数之间的关系等而导出一系列公式来，他们相互之间是有紧密关系的．和、差、倍、半角的三角函数是一组十分重要的公式，它们在解决三

3、角恒等变换等方面有许多重要应用．但是，光是这些关系还不足以解决问题，今天我们还要进一步把握它们的内在联系，寻求新的关系式．(二)新课正、余弦的和差角公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(1)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsingβ(2)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(3)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(4)请同学们注意观察这四个公式，考虑一下能否利用这些公式得出一些新关系来．把(1)式与(2)式相加可得sin(α+β)+sin(α-β)=αsinαcosβ

4、．把(1)式与(2)式相减可得sin(α+β)-sin(α-β)=αcosαsinβ．(3)、(4)两式作类似的加、减还可以得到：cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ，cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ．若把这四个关系式整理一下，即可得到以上这四个公式的特征是把三角函数的积的形式转化为三角函数的和、差的形式，我们把上述公式称为三角函数的积化和差公式．积化和差公式的功能可以把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式)，这种转化可以使得一些我们无法解决的问题变成可能解决的问题，它

5、们在三角式的变换中有很重要的作用．练习1．求sin20°·cos70°+sin10°·sin50°的值，2．求cos37.5°·cos22.5°的值，1．sin20·cos70°+sin10°·sin50°2．cos37.5°·cos22.5°而sin20°·sin40°·sin80°我们知道，每个数学公式都有两方面的应用，即正用与逆用．积化和差公式也不例外，那么，积化和差公式的逆用应怎么称呼呢？应称为三角函数的和差化积公式．由三角函数的积化和差公式的逆用，我们可得以下几个公式：sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ

6、；sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ；cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ；cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ．为了突出这组公式是三角函数的和差化积公式并能方便地记忆，可作如下的换元：三角函数的和差化积这样我们就得到如下的三角函数的和差化积公式和差化积公式与积化和差公式相反，它可以把三角函数的和差的形式转化为积的形式，从而获得问题的解决．例1求sin42°-cos12°+sin54°的值．分析：这是三角中常遇到的问题，由于原题是三个三角函数的和差形式，自然想到要使用和差化积

7、公式，由于上述问题中现成的同名角函数为sin42°、sin54°，因而一般做法是将这二个函数做和差化积但本题若采用此法则无后续手段，问题的解决将十分困难．应该说这种思考的方向是正确的，但我们不是为和差化积而和差化积，而是为问题的解决而和差化积的，一般地说出现多个三角函数的和差时，应选择能出现特殊角的一组进行．鉴于此，本题应采取下面的解法．解：原式=sin42°-sin78°+sin54°=-2cos60°sin18°+sin54°=cos54°-sin18°=2sin36°sin18°．进行到此，本题的化简能进行下去吗？可试着使用正

8、弦函数的倍角公式化简．2cos36°sin18°2和差化积公式的左边全是同名函数的和或差，只有负数绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一余弦的和或差必须先用诱导公式化成同名函数后，再运用积化和差公