空间向量与平行、垂直关系完整可编辑版.ppt

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1、3．2立体几何中的向量方法第1课时　空间向量与平行、垂直关系学习导航学习目标重点难点　重点：利用空间向量证明线线、线面、面面垂直与平行．难点：把线、面问题转化为向量问题．新知初探思维启动1.法向量如图所示,直线l⊥α,取直线l的___________，则向量a叫做平面α的_________，给定一点A和一个向量a，则过点A，以a为法向量的平面是完全确定的．方向向量a法向量想一想直线的方向向量和平面的法向量是惟一的吗？提示：不惟一．2.空间中平行关系、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b

2、，平面α,β的法向量分别为u，v，则线线平行l∥m⇔a∥b⇔a＝kb；线面平行l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；面面平行α∥β⇔u∥v⇔u＝kv；线线垂直l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；线面垂直l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku；面面垂直α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0.做一做根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面的位置关系：(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)；(2)平面α，β的法向量分别是u＝(1，3，0),v＝(－3，－9，0)．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2

3、，1，0)，B(0，2，3)，C(1，1，3)，试求出平面ABC的一个法向量．典题例证技法归纳题型探究例1求平面的法向量(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定某个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的法向量．例2利用空间向量证明平行关系已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.【名师点评】(1)用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平

4、面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内；三是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．变式训练2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.例3利用空间向量证明垂直关系(本题满分12分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1，E、F分别是BC、CC1的中点．(1)求证：平面A1B1F⊥平面C1DE；(2)在AB上确定一点

5、P，使C1P⊥平面A1DE.【思路点拨】(1)证明面面垂直即证它们的法向量垂直；(2)证C1P⊥平面A1DE，只要证C1P的方向向量和平面A1DE的法向量平行．名师微博利用法向量与平面内两不共线向量垂直求法向量是本题关键.取y2＝1，则得x2＝－2，z2＝－1，∴平面C1DE的一个法向量为n2＝(－2，1，－1)．…(7分)∴n1·n2＝1＋0－1＝0，∴n1⊥n2，∴平面A1B1F⊥平面C1DE.(8分)【名师点评】(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平

6、面内两相交的直线的方向向量垂直即可．(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0即可．变式训练3.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.证明：由题意得AB，BC，B1B两两垂直，以B为原点,分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，备选例题1.如图，在正方

7、体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?解：建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2,则O(1，1，0)，A(2，0，0),P(0，0，1),B(2，2，0)，D1(0，0，2).再设Q(0，2,c),2.如图，在四棱锥EABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°.求证：平面ADE⊥平面ABE.方法感悟方法技巧1.用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直问题，主要运

8、用了直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行、垂直的定理．2.用向量方法证明平行、垂直问题的步骤：(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；(2)通过向量运算研究平行、垂直问题；(3)根据运算结果解释相关问题．失误防范(1)直线的方向向量不是惟一的，可以分为方向相反的两类．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．(2)一个平面的法向量不是惟一的，在应用时,可