高中数学 定积分定义.ppt

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1、定积分概念与性质一、定积分问题举例二、定积分定义三、定积分的性质一、定积分问题举例曲边梯形设函数yf(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.1.曲边梯形的面积观察与思考在曲边梯形内摆满小的矩形,当小矩形的宽度减少时,小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?怎样求曲边梯形的面积？求曲边梯形的面积(1)分割:ax0

2、1

3、的路程近似为(3)求和:(4)取极限:记max{Dt1,Dt2,,Dtn},物体所经过的路程为二、定积分定义定积分的定义max{Dx1,Dx2,,Dxn};记Dxi=xi-xi1(i1,2,,n),ax0

4、,n),作和即的定积分记为定积分各部分的名称————积分符号,f(x)———被积函数,f(x)dx——被积表达式,x————积分变量,a————积分下限,b————积分上限,[a,b]———积分区间，定积分的定义二、定积分定义———积分和定积分的定义二、定积分定义说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关,即函数的可积性如果函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在,则称f(x)在区间[a,b]上可积.定理1如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.定

5、理2如果函数f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.定积分的定义二、定积分定义定积分的几何意义当f(x)0时,f(x)在[a,b]上的定积分表示由曲线yf(x)、直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积.当f(x)0时,f(x)在[a,b]上的定积分表示曲边梯形面积的负值.这是因为一般地,f(x)在[a,b]上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x)及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和.定积分的几何意义当f(x)0时,f(x)在[a,b]上的定积分表示

6、由曲线yf(x)、直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积.当f(x)0时,f(x)在[a,b]上的定积分表示曲边梯形面积的负值.利用定义计算定积分解:例1利用定积分定义计算.取分点为(i=1,2,,n-1),则(i=1,2,,n).在第i个小区间上取右端点(i=1,2,,n).于是利用几何意义求定积分解函数y1x在区间[0,1]上的定积分是以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形的面积.因为以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形是一个直角三角形,其底边长及高均为1,

7、所以首页例2三、定积分的性质两点规定这是因为三、定积分的性质性质1三、定积分的性质性质1性质2>>>性质3>>>注：值得注意的是不论abc的相对位置如何上式总成立三、定积分的性质性质1性质2性质3性质4推论1如果在区间[ab]上f(x)g(x)则这是因为g(x)f(x)0从而如果在区间[ab]上f(x)0则性质5所以这是因为

8、f(x)

9、f(x)

10、f(x)

11、,所以推论1如果在区间[ab]上f(x)g(x)则如果在区间[ab]上f(x)0则性质5推论2推论1如果在区间[ab]上f(

12、x)g(x)则如果在区间[ab]上f(x)0则性质5推论2性质6设M及m分别是函数f(x)在区间[ab]上的最大值及最小值则如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续则在积分区间[ab]上至少存在一个点x使下式成立这是因为,由性质6性质7(定积分中值定理)——积分中值公式由介值定理,至少存在一点