三角函数 三角函数公式表.doc

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1、常见三角函数在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x,y)。　　在这个直角三角形中，y是θ的对边，x是θ的邻边，r是斜边，则可定义以下六种运算方法：　　基本函数英文表达式语言描述正弦函数Sinesinθ=y/r角α的对边比斜边余弦函数Cosinecosθ=x/r角α的邻边比斜边正切函数Tangenttanθ=y/x角α的对边比邻边余切函数Cotangentcotθ=x/y角α的邻边比对边正割函数Secantsecθ=r/x角α的斜边比邻边余割函数Cosecantcscθ=r/y角α的斜边比对边　　注：tan、c

2、ot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。非常见三角函数　　除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数，这些运算已趋于淘汰：　　函数名与常见函数转化关系正矢函数versinθ=1-cosθ余矢函数coversθ=1-sinθ半正矢函数haversθ=(1-cosθ)/2半余矢函数hacoversθ=(1-sinθ)/2外正割函数exsecθ=secθ-1外余割函数excscθ=cscθ-1单位圆定义　　六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角

3、函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0和π/2弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，  三角函数单位圆的方程是：x^2+y^2=1　　图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。　

4、　对于大于2π或小于等于2π的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为2π的周期函数：对于任何角度θ和任何整数k。　　周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是2π弧度或360°；正切或余切的基本周期是半圆，也就是π弧度或180°。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。　　  其他四个三角函数的定义在正切函数的图像中，在角kπ附近变化缓慢，而在接近角(k+1/2)π的时候变化迅速。正切函数的图像在θ=(k+1/2)π有垂直渐近线。这是因为在θ从左侧接

5、进(k+1/2)π的时候函数接近正无穷，而从右侧接近(k+1/2)π的时候函数接近负无穷。　　另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为O的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别  三角函数是，对于这个圆的弦AB，这里的θ是对向角的一半，sinθ是AC（半弦），这是印度的阿耶波多介入的定义。cosθ是水平距离OC，versinθ=1-cosθ是CD。tanθ是通过A的切线的线段AE的长度，所以这个函数才叫正切。cotθ是另一个切线段AF。secθ=OE和cscθ=OF是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作OA沿着A的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE

6、是exsecθ=secθ-1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在θ接近π/2的时候发散，而余割和余切在θ接近零的时候发散。三角函数线　　依据单位圆定义，　　  三角函数线我们可以做三个有向线段（向量）来表示正弦、余弦、正切的值。　　如图所示，圆O是一个单位圆，P是α的终边与单位圆上的交点，M点是P在x轴的投影，S(1,0)是圆O与x轴正半轴的交点，过S点做圆O的切线l。　　那么向量MP对应的就是α的正弦值，向量OM对应的就是余弦值。OP的延长线（或反向延长线）与l的交点为T，则向量ST对应的就是正切值。向量的起止点不能颠倒，因为其方向是有

7、意义的。借助线三角函数线，我们可以观察到第二象限角α的正弦值为正，余弦值为负，正切值为负特殊角的三角函数　　角度sincostancot0°010无意义30°1/2√3/2√3/3√345°√2/2√2/21160°√3/21/2√3√3/390°10无意义0180°0-10无意义270°-10无意义0同角三角函数关系式　　平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=1　　cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=1-2sin^2(a)=2cos^2(a)-1　　sin(2a)=2sin(a)cos(a)　　tan^2(α)+1=1/cos^2(α)　

8、　2sin^2(a)=1