电磁学静电场习题.doc

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1、电磁学静电场习题1）电荷以相同的面密度s分布在半径为r1＝10cm和r2＝20cm的两个同心球面上．设无限远处电势为零，球心处的电势为U0＝300V．(1)求电荷面密度s．(2)若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？［e0＝8.85×10-12C2/(N·m2)］解：(1)球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即3分＝8.85×10-9C/m22分(2)设外球面上放电后电荷面密度为，则应有=0即2分外球面上应变成带负电，共应放掉电荷＝6.67×10-9C3分2）图示一厚度为d的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为r．试求板内外的场强分布

2、，并画出场强随坐标x变化的图线，即E—x图线(设原点在带电平板的中央平面上，Ox轴垂直于平板)．E2E2E1E1S2S12úxê解：由电荷分布的对称性可知在中心平面两侧离中心平面相同距离处场强均沿x轴，大小相等而方向相反．在板内作底面为S的高斯柱面S1（右图中厚度放大了）,两底面距离中心平面均为êxô,由高斯定理得xExOd/2-d/2-则得即4分在板外作底面为S的高斯柱面S2两底面距中心平面均为，由高斯定理得则得5即，4分E~x图线如图所示．2分3）两导体球A、B．半径分别为R1=0.5m，R2=1.0m，中间以导线连接，两球外分别包以内半径为R=1.2m的同心导体

3、球壳(与导线绝缘)并接地，导体间的介质均为空气，如图所示．已知：空气的击穿场强为3×106V/m，今使A、B两球所带电荷逐渐增加，计算：(1)此系统何处首先被击穿？这里场强为何值?(2)击穿时两球所带的总电荷Q为多少？(设导线本身不带电，且对电场无影响．)(真空介电常量e0=8.85×10-12C2·N-1·m-2)解：(1)两导体球壳接地，壳外无电场．导体球A、B外的电场均呈球对称分布．今先比较两球外场强的大小，击穿首先发生在场强最大处．设击穿时，两导体球A、B所带的电荷分别为Q1、Q2，由于A、B用导线连接，故两者等电势，即满足：2分代入数据解得1分两导体表面上的场

4、强最强，其最大场强之比为2分B球表面处的场强最大，这里先达到击穿场强而击穿，即V/m2分(2)由E2max解得Q2=3.3×10-4C1分0.47×10-4C1分击穿时两球所带的总电荷为Q=Q1+Q2=3.77×10-4C1分54）一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为R1=2cm，R2=5cm，其间充满相对介电常量为er的各向同性、均匀电介质．电容器接在电压U=32V的电源上，(如图所示)，试求距离轴线R=3.5cm处的A点的电场强度和A点与外筒间的电势差．解：设内外圆筒沿轴向单位长度上分别带有电荷+l和-l,根据高斯定理可求得两圆筒间任一点的电场强

5、度为2分则两圆筒的电势差为解得3分于是可求得Ａ点的电场强度为=998V/m方向沿径向向外2分A点与外筒间的电势差：=12.5V3分5）两金属球的半径之比为1∶4，带等量的同号电荷．当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能．若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？解：因两球间距离比两球的半径大得多，这两个带电球可视为点电荷．设两球各带电荷Q，若选无穷远处为电势零点，则两带电球之间的电势能为式中d为两球心间距离．2分当两球接触时，电荷将在两球间重新分配．因两球半径之比为1∶4．故两球电荷之比Q1∶Q2=1∶4．Q2=4Q12分但∴，2分5当返回原处时,电势

6、能为2分6）一绝缘金属物体，在真空中充电达某一电势值，其电场总能量为W0．若断开电源，使其上所带电荷保持不变，并把它浸没在相对介电常量为er的无限大的各向同性均匀液态电介质中，问这时电场总能量有多大？解：因为所带电荷保持不变，故电场中各点的电位移矢量保持不变，又3分因为介质均匀，∴电场总能量2分7）有两个异号点电荷，电荷分别为ne(n>1)和－e，二者相距2a．试证明在这点电荷系的电场中，电势为零的等势面是一个球面．证：建坐标xOy如图．原点O在二点电荷连线中点处．证明在xy平面内电势为零的各点连线为一圆，此圆绕x轴旋转即为球面．2分任一点P的电势为2分U＝0时有nr2

7、=r1或由图得，代入并整理得：,(n>1)以上是圆方程．可见等势面为零的点在一球面上，2分球心坐标：球半径：2分8）有两块“无限大”带电导体平板平行放置．试证明：静电平衡时1．相向两面的电荷面密度总是大小相等、符号相反的；2．相背两面的电荷面密度总是大小相等、符号相同的．解法一：如图所示，设两板带电后各面上的电荷面密度分别为s1、s2、s3、s4．1.作底面积为S1的柱形高斯面，因导体内部场强为零，按高斯定理，根据大手面电荷产生场的叠加性质可知在两板外都是匀强场，且两侧场强大小相等。由此得s2=-s3可见，相向两面的电荷面密度等量反号．