数学基础和（ X页）.doc

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1、数学基础1和2一、逻辑要素1.定理和证明形式逻辑的力量2.假设和结论社会科学屮存在的问题3.必要条件和充分条件若卩则$(pfq)非q则非p(非9T非")”是g的充分条件9是卩的必要条件社会科学屮存在的问题4.反证法设(l-a)x+(l-0)y=0。若兀和y任意，试证：a=0=1。5・模型价值转形问题屮的模型设置错误；人类智力的耻辱二、集合论的要素1.集合一关系一函数2・集合⑴数学研究的是不同集合Z间的关系⑵空集0工{0}⑶凸集给定一个集合S设wS由做它们的“加权平均”或凸组合x+(I-/)y女口果饥+(l_/)ywS,贝I」S为凸集

2、3.关系⑴集合S与TZ间的一个二元关系SxT的一个了集⑵集合S上的一个二元关系定义：SxS的一个了集⑶集合S上的一个等价关系定义：集合S上的一个满足如下三条性质的关系:①自反性：对S中的任意X,有刃"②对称性：若则)Wx③传递性：若xRy,且)仗，则4.函数⑴名词：函数并非只是“数”与“数”的关系(function较好)⑵母亲是女儿的函数？女儿是母亲的函数？⑶定义域和值域的问题一一例了(丘为全体非负实数)f.R—RfM=Fg：艮->/?g(x)=x2h:R—>R+h(x)=x2k:R—>Rk(x)=x2⑷单射、满射(一对一)、双射(

3、一一对应)、反函数(逆)三、一点拓扑学1.从集合到空间：导言2・距离设S是一个集合，若对于S中任意两个元素兀,y,都有唯一确定的实数r/(x,y)与Z对应，且满足如下关系：%1d(x,y)>0(如果x=y,则d(x,y)=O)%1d(x,y)

4、,y）=J（）［一兀+（儿一*2）‘%1一维欧氏空间（肓线）（Ed）,其屮，d^y）=y-x4.£-球⑴开球（开的£-球）⑵闭球（闭的£-球）5.开集定义例子性质6・闭集定义例子性质7.（集合S的）边界点（以及边界点与开集、闭集）8.（集合S的）内点（以及内点与开集、闭集）9・有界集10实直线上的有界集上界一上有界一上确界下界一下有界一下确界“确界公理”11紧集有界闭集12・连续性⑴定义⑵性质%1若f:DIR"连续，则对于D内的每一个紧集S,/(S)在川内是紧的。%1若f:D—R“连续，则对于内的每一个开集S,厂(S)在D内是开的

5、,反Z亦然。13・存在性定理⑴这些定理是充分的但非必要的⑵威氏定理%1定理%1解释：紧集上的连续函数有最值%1图示%1反例：有界开集或无界闭集都不行⑶不动点和不动点定理%1不动点(以单方程或方程组为例)%1不动点定理(布劳尔)定理解释：非空紧凸集合上的连续映射存在不动点图示：有界闭区间上的连续函数j.RfR与45。线有交点存在性但没有唯一性、实值函数⑴定义：f.DiR⑵说明：D为任意集合，/?为实直线(实数集合)⑶例了：DuR]；y=。石+bx2⑷递增、严格递增和强递增2.水平集、优集和劣集(1)水平集(实值函数的水平集)实值函定义

6、L(.y°)=卜卜w=y"};L(x°)=xeD,/(x)=/(x°)j说明L(/)是实值函数f.D—R的一个水平集儿何等高线例了无差异曲线性质不同的水平集不相交⑵优集优集5(v0)={x

7、xgD,/(x)>/}严格优集S'(y")={x兀wD,f(Q>y°j⑶劣集劣集I(y())={xxGDJ(x)

8、数⑴严格凹函数图示性质数学描述若对于定义域屮任意两点召和兀，总有/(^+(1—/)七)>(/•(%,)+(l-r)/(x2)(0(心)+(1—()/(.£)(0min[/(x,),/(x2)](0min[

9、/(x,),/(x2)](0