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1、第一章向量与坐标§1.1向量的概念§1.3数乘向量§1.2向量的加法§1.4向量的线性关系与向量的分解§1.6向量在轴上的射影§1.5标架与坐标§1.7向量的数量积§1.9三向量的混合积§1.8两向量的向量积§1.10三向量的双重向量积量的分类：标量、向量（矢量）、张量等§1.1向量的概念定义集合相互关系定义1.1.1既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量.向量的几何表示：
2、
3、向量的模：向量的大小.或或有向线段有向线段的方向表示向量的方向.有向线段的长度表示向量的大小,§1.1向量的概念返回下一页所有的零向量都相等.模为1的向量.零向量：模为0的向量.单位向量：或定义1.1.2如
4、果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做相等向量.记为＝定义1.1.3两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量.上一页下一页返回自由向量.固定向量零向量与任何共线的向量组共线.定义1.1.4平行于同一直线的一组向量叫做共线向量.定义1.1.5平行于同一平面的一组向量叫做共面向量.零向量与任何共面的向量组共面.上一页返回注：并不是所有的有向线段都表示向量，如刚体的有限转动。注：在不作声明的前提下,所说的向量都是自由向量.OAB这种求两个向量和的方法叫三角形法则.一、向量加法的概念§1.2向量的加法OABC这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则.Back注：在自由向量的意义下，两向量
5、合成的平行四边形法则可归结为三角形法则.一、向量加法的概念为什么是这样定义，而不是其它的？定理1.2.2向量的加法满足下面的运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（4）（3）二、向量加法的运算规律OBCAOBCAOA1A2A3A4An-1An这种求和的方法叫做多边形法则.Back二、向量加法的运算规律向量减法的定义：.向量等式的移项法则：在向量等式中，将某一向量从等号的一端移到另一端，只需改变它的符号.三、向量的减法OBA向量减法的几何作图法:性质：三、向量的减法上一页下一页返回这个不等式还这个不等式还可以推广到任意有限多个向量的情况：ABC上一页返回§1.3数乘向量下一页返回定
6、理1.3.1数与向量的乘积符合下列运算规律：（2）结合律：（3）第一分配律：两个向量的平行关系（4）第二分配律：上一页下一页返回（1）证充分性显然；必要性‖两式相减，得上一页下一页返回按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.上一页下一页返回证明方法,是根据可能出现的情况,证明等式两边的向量长度相等与方向相同.1)设a与b为共线向量：2)设a与b不共线.空间解析几何090610.pdf我们对规律4给出证明.总结：向量的加减法以及数乘向量的运算规律与实数中多项式的加、减法以及数乘多项式的加、减法以及数乘多项式的运算规律相同，因此
7、，对于向量的加减以及数乘也可以象多项式那样进行运算.例1设AM是三角形ABC的中线，求证:证如图因为所以但因而即ABCM(图1.11)上一页下一页返回例2用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.证设ΔABC两边AB，AC之中点分别为M，N，那么所以且上一页返回1、对于任意取定的点组证明：（1）存在唯一的点，使得（2）对于任意的点有，.一、向量的线性组合向量的加法和向量的数乘统称为向量的线性运算.Back§1.4向量的线性关系与向量的分解二、共线向量的基底Back三、共面向量的基底OE2BPE1ABack四、空间向量的基底E3E2E1OPABC例题O
8、NBPAM例2证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.ABCDEFP1e1e2e3.,,,.,,,,,,,,3211321321321关系式线性表示的，，用先求取不共面的三向量就可以了三点重合下只需证两组对边中点分别为其余它的中点为线为的连的中点对边一组设四面体证eeeAPeADeACeABPPPPPPEFFECDABABCD===上一页下一页返回连接AF，因为AP1是△AEF的中线，所以有又因为AF1是△ACD的中线，所以又有上一页下一页返回五、向量的线性关系Back六、向量线性相关的条件Back七、共线向量的条件Back八、共面向量的条件例4设为两不共线向量，证明共线的
9、充要条件是上一页下一页返回证共线线性相关，即存在不全为0的实数使即又因为不共线线性无关有唯一零解上一页返回例3上一页下一页返回定理设A,B是不同的两点,则点C在直线AB上的充要条件是对空间中任取不在直线上的点O,存在惟一的一对实数m,n,使得 且m+n=1.而C在线段AB上的充要条件是且上述关系成立.空间解析几何090610.pdfO一、标架OPO§1.5标架与坐标OO右手（旋）标架左手（旋）标架Back一、标架二、坐标OPBack三、坐标系1－1对应1－1对应右手坐标系；左手坐
