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1、学案2矩阵与变换名师伴你行SANPINBOOK名师伴你行SANPINBOOK考点1考点2考点3填填知学情课内考点突破规律探究考纲解读考向预测考点4考点5名师伴你行SANPINBOOK考纲解读坐标系与参数方程了解矩阵的概念；了解几种常见的平面变换：恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换；理解二阶矩阵的乘法；理解逆矩阵的意义，理解二阶矩阵存在逆矩阵的条件；掌握逆矩阵的求法，会用逆矩阵求解二元一次方程组；理解二阶矩阵特征值与特征向量的意义；掌握求解二阶方阵的特征向量和特征值的基本方法，并会利用特征向量和特征值来简化矩阵和向量的乘积运算.返回目录名师伴你行SAN
2、PINBOOK矩阵与变换是选考内容,在高考题中,都给出一个10分的题,以近两年的高考题看矩阵的运算、求逆矩阵、二阶矩阵的特征值与特征向量是考试的重点和热点.预测2012年高考仍以考查基本运算为主.考向预测返回目录名师伴你行SANPINBOOK1、二阶矩阵由4个数a,b,c,d排成的称为二阶矩阵,数a,b,c,d称为矩阵的元素.元素全为0的二阶矩阵称为,矩阵称.正方形数表零矩阵二阶单位矩阵返回目录名师伴你行SANPINBOOK2、二阶矩阵与平面向量的乘法设A=,α=,规定二阶矩阵A与向量α的乘积为,记为或.3、线性变换的基本性质1.设A是一个二阶矩阵,α,β是平面上的任意两个
3、向量,λ是一个任意实数,则(1)A(λα)=;(2)A(α+β)=;ax+bycx+dyAαλAαAα+Aβ返回目录名师伴你行SANPINBOOK(3)设A是一个二阶矩阵,α,β是平面上的任意两个向量,λ1,λ2是任意两个实数,则A(λ1α+λ2β)=.2.二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成.4、矩阵乘法的性质1.设A,B,C是任意的三个二阶矩阵,则A(BC)=.2.矩阵的乘法不满足和.5、逆变换与逆矩阵(1)设ρ是一个线性变换,如果存在实线性变换σ,使得,则称变换ρ可逆,并且称σ是ρ的逆变换.λ1Aα+λ2Aβ直线(或一点)(AB)C交换律消去律σρ=ρσ=
4、I返回目录名师伴你行SANPINBOOK(2)设A是一个二阶矩阵,如果存在二阶矩阵B,使得,则称矩阵A可逆或称矩阵A是可逆矩阵,并且称B是A的逆矩阵.(3)设A是一个二阶矩阵,如果A是可逆的,则A的逆矩阵是.(4)设A,B是二阶矩阵,如果A,B都可逆,则AB也可逆,且.6、特征值与特征向量设矩阵A=,如果存在实数λ以及非零向量ξ,使得,则称λ是矩阵A的一个特征值,ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量.Aξ=λξBA=AB=E2唯一的(AB)-1=B-1A-1返回目录名师伴你行SANPINBOOK已知矩阵A=,(1)矩阵A把点M(3,2)变成什么?(2)若矩阵A把点P变成点
5、M(3,2)，试求点P的坐标.考点1矩阵的线性变换返回目录名师伴你行SANPINBOOK【解析】(1)由于=,故A把点M(3,2)变成点N(2,5).(2)设P(x,y),则=,0·x+y=3x=-1x+y=2,y=3.故点P的坐标为(-1,3).即解得返回目录矩阵变换及二阶矩阵乘法公式是矩阵运算的基本公式，应熟练掌握.名师伴你行SANPINBOOK返回目录名师伴你行SANPINBOOK如图,点A依次经过矩阵A1,A2,A3的变换后依次移到点B,C,D,且A1,A2,A3分别为下列三个矩阵:①;②;其中的一个,则A1,A2,A3依次为.（填序号）返回目录②③①(由图中可知A
6、(1,1),B(2,1),C(3,4),D(3,2),又由于从而A1=,A2=,A3=,)名师伴你行SANPINBOOK===,,返回目录名师伴你行SANPINBOOK利用直线的向量方程来求解下列问题:(1)直线l经过A(1,0),B(0,2),考察矩阵M=把l变成什么?(2)直线l经过点A(2,1)，且垂直于x轴,考察矩阵M=把l变成什么?考点2线性变换的性质返回目录名师伴你行SANPINBOOK【解析】(1)直线l的向量方程为OX=OA+tAB,t∈R,其中AB=OB-OA，在M的作用下：即在矩阵M作用下点A(1,0)变成了点A′(1,1),点B(0,2)变成点B(不动
7、),由于A′B≠0,所以矩阵M把直线l变成了经过点A′(1,1)和B(0,2)的直线l:OX=OA′+tA′B,t∈R,其中OA′=,A′B=.=,=,返回目录(2)直线l的向量方程为OX=OA+tj,t∈R,其中j=,在M的作用下:这样,矩阵M把A(2,1)变成A′(6,0),把方向向量j变成零向量,即Mj=0,从而,对直线l上任意点X,在M的作用下,OX变为MOX=M(OA+t·j)=OA′+t·0=OA′，可知,矩阵M把直线l变成一个点A′(6,0).=,=名师伴你行SANPINBOOK返回目录名师伴你行SA
