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《有限元方法及软件应用有限元平面问题6.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、四．等参单元的数学分析由于引入坐标变换，使得应变矩阵，应力矩阵及单元刚度矩阵却带来了坐标变换的问题。1．坐标变量的变换式等参单元的坐标变换为：2．形函数编导的变换式由复合函数求导有：由坐标变换式知:x,y可用表示，但由于不是线性坐标变换，故我们不能把用x,y来表示。故要用矩阵求逆的方法来处理。∵写成矩阵形式：令则：用表示x,y由于x,y及均可表示为的显式函数。故是可求的。为的伴随矩阵，由的代数余子式组成。为的行列式。再由坐标变换式：得到：故又可表示为：同样可求得1．积分变量的变换式在单刚及荷载移置时都要用到积分的计算。下面我们就来确
2、定这些变换。A.微分面积dA坐标变换式在x——y系中：dA=dxdy.但被积函数不能用x,y表示。且x,y的积分限不好确定。在系中的母单元为下图（a）把坐标系放在子单元上有下图b在子单元上p点按的等值线取微元体dA则：设则：面积矢量==∴的大小为：∵和分别是在x,y轴上的投影。∴同理：∴∴这就是微分面积dA的坐标变换式。在计算单刚及体力移置时要用。A.微分弧长ds的变换式弧长ds在x-y系中可表示为：∵x=x()y=y()∴∴在的边上∴在的边上∴以上两式为弧长ds的变换式五．等参单元的力学分析——单元刚度矩阵1．应变矩阵[B]∵由几
3、何方程得：=（n为单元节点数）∴令——分块（i=I,j,…,n）则：——单元的应变矩阵2．应力矩阵[s]和弹性矩阵[D]对于弹性力学平面问题，弹性矩阵总是由物理方程给出：即：∴∴就是单元的应力矩阵。由下式给出也可按节点分块这里：（i=I,j,….,n）3.单元的单刚矩阵：弹性力学平面问题的单元刚度矩阵由下式给出对于等参单元，要把微分面积换一下这里：为的行列式。到此，我们已经推出了等参单元的全部结果。（荷载处理除外）。对具体单元具体处理。六．四节点等参单元1．单元的形函数及位移函数。四节点等参单元有4个节点I,j,k,m.为任意的四边
4、形单元（母单元为正方形单元）1．节点位移=2．坐标变换：3.单元的形函数（i=I,j,k,m）4.单元的位移函数：2单元的刚度矩阵1．单元的应变矩阵（i=I,j,k,m）,由下式确定。2．单元的应力矩阵：1．单元的刚度矩阵由以上给出行列式的计算要用下式：这里：；。为节点坐标。显然：8．单元荷载的移置A:集中力：B:分布体力=C:面力：=从以上可以看出，在单刚及荷载移置的计算中被积函数都是比较复杂的。一般要用到数值积分。七．八节点等参单元.(一般已能满足应用——凹向确定)1．单元的位移函数及形函数。八节点等参单元有八个节点：I,j,k
5、,m,1,2,3,4.为曲边四边形单元1）节点位移（i=I,j,…4）2）坐标变换3）单元的形函数：(i=I,j,k,m)(1=1,3)(2=2,4)4）单元的位移函数：2．单元的刚度矩阵1)应变矩阵（i-I,j,…,4）,由下式确定。其中：由决定。而2）应力矩阵：（i=i，j,…,4）[D]不变[D]=3）单刚：注意矩阵的阶。八．高斯求积法在计算单元刚度矩阵及荷载移置时都要进行积分运算。并且，由于坐标变换使得被积函数很复杂。一般要计算数值计算1．一维求积公式。（面力移置）研究。在区间[-1，1]求积分在积分区间内选定n个高斯积分点
6、则积分值由下式确定——称为高斯公式式中：——高斯公式点（坐标）f()——积分点的被积函数值——求积系数（加权系数）和都由n次荆让德（Legendre）多项式决定。高斯积分的积分点数n一般满足n≥就能满足较高的精度。这里f()为m次多项式若f()不是多项式，则要用增加积分点，用二次计算的误差保证精度表：高斯积分点的坐标与加权系数n213,0,,4及的数值一般已事先算出。很多书中都有。见上表2．二维高斯积分（单刚，体力计算）二维高斯求积公式为：（先固定i）一般数值积分由程序实现，i为外循环，j为内循环九．等参单元坐标变换的必要条件在等参
7、单元的计算中要计算下式及因此，必须保证在整个单元上满足。下面推导一下直观的结果即：等参单元坐标变换存在的必要条件是：下面就来从四节点等参单元推导的限制条件∵对四边形单元：∴∴单元在坐标系下的节点坐标为：；；；考察节点i，即计算在节点i上的数值∵∴∴同理：∴同理：∴由图可知：模：∴∴同理：∵下面我们来做一下的图形固定，我们可做出的图形。可知：沿方向都是线性变化的。即是的双线性函数因此，要保证在整个单元上，必须满足：1）在四个顶点；2）在四点顶点不变号。或而四个顶点的值已标出。因此要求：1．2．（）（i=I,j,k,m）反证：∵若因此，
8、任意四边形单元对节点夹角的要求为：并且由于是数值计算总会带来计算误差。故应尽量避免向小角度或大钝角靠近。九．等参单元的特点和应用1）是完备的协调单元（收敛）2）边界曲线适应性好（2阶以上）3）计算精度较高（2阶以上）4）可以退化为三角
