数值分析 第三章 数据拟合.ppt

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1、数值分析NumericalAnalysis第三章数据拟合方法郑州大学研究生课程（2013-2014学年第一学期）第三章数据拟合方法§3.1问题提出§3.2最小二乘法的基本概念§3.3线性拟合方法§3.4非线性曲线的数据拟合ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis§3.1问题提出离散数据点插值：插值函数精确通过每一个数据点。ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数

2、值分析NumericalAnalysis两类实际情况:★离散数据点提出来自试验，具有测量误差，要求插值函数通过所有数据点反而会保留测量误差的影响。★某些情况下需要找出反映变量变化关系的经验函数，而非精确通过关键点的外形控制函数。§3.1问题提出ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis例3.1.1ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAn

3、alysis已知一组数据(xi,yi),y=f(xi)，i=1,2,…,m。f未知。构造插值函数φ(x)来逼近f(x),则有φ(xi)=f(xi)=yi,i=1,2,…,m或记Q=(φ(x1),φ(x2),…,φ(xm)),Y=(y1,y2,…,ym),则有Q=Y.如果数据不能同时满足某个特定函数，而要求所求的逼近函数“最优地”靠近数据点，即向量Q与Y的误差或距离最小。按Q与Y的误差最小原则作为最优标准所构造出的函数，我们称为拟合函数。§3.1问题提出ISCM2007,BeijingChina/41

4、郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis定义Q与Y之间的距离：其中，R称为均方误差。最小二乘法：按均方误差达到极小构造拟合曲线的方法。§3.1问题提出ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis§3.2最小二乘法的基本概念构造拟合曲线的两个问题：Q:从哪一类函数族里面选择拟合曲线的形式？A:根据问题的实际背景，选择逼近f(x)的函数族。ISCM2007,BeijingChi

5、na/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数据拟合的线性模型(x)=a11(x)+······+ann(x)例如:[1(x),···,n(x)]=[1,x,···,xn-1][1(x),···,n(x)]=[1,cosx,···,cos(n-1)x]§3.2最小二乘法的基本概念ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysisQ：如何确定参数a1,a2,…,

6、an以确定一条拟合曲线呢？A:按照在数据点处均方误差最小的原则。这种用求解误差函数最小值问题来确定拟合参数的方法称为数据拟合的最小二乘法§3.2最小二乘法的基本概念ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis§3.2最小二乘法的基本概念ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis@最小二乘法归结为求n个未知数的线性代数方程组。§3

7、.2最小二乘法的基本概念ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis最小二乘法的正规方程组（其解为驻点）§3.2最小二乘法的基本概念ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis引进矩阵和向量记号§3.2最小二乘法的基本概念ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析Numeric

8、alAnalysis§3.2最小二乘法的基本概念ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis★以上正规方程组是否存在唯一解?★正规方程组的解是最小二乘问题的驻点，此驻点是否就是最小二乘问题的解呢？§3.2最小二乘法的基本概念ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis可以证明,此解是最小二乘问题的解