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1、•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)§2第二型曲面积分首页×设连通曲面S上处处有连续设M0为曲面S上一点，确定方向为正方向，另一个方向为负方向.L为S上任一经过点M0且不超出S边界的闭曲线.设点M从M0出发，沿L连续移动，M在M0点与M0变动的切平面（或法线）曲面在M0点的一个法线有相同的法线方向，当点M连续移动时，其法线方向也连续变动，最后当M沿L回到M0时，若这时M的法线方向仍与M0点的法线方向一致，则称此曲面S为双侧曲面；若与M0的法线方向相反，则称S为单侧曲面首页×1、问题的提出从给定曲面S的负侧流向正侧，设某
2、流体以一定的速度求单位时间内流经曲面S的流量E如果流体的流速是不变的常向量v，S是平面，其正侧的单位法向量为no,时间内流经曲面S的流量E为：E=v·noΔSS的面积记为ΔS，则单位二、第二型曲面积分的概念首页×将曲面S任意分成n块,设该点的单位法向量为：流经该点的流速为在小曲面块Si的正侧上任取一点Sii=1,2,...,n首页×则单位时间内流经小曲面Si的流量近似地等于其中ΔSi为小曲面Si的面积.记它们是Si的正侧分别在坐标面面积的近似值，于是单位时间yz,zx和xy上投影区域内流经小曲面Si的流量首页×也近似地等于故单位时间内由曲面S的负侧流向正侧的总流量首页×2、第二型曲面
3、积分的定义设P,Q,R为定义在双侧曲面S上的函数，在S所指定的一侧作分割T，把S分为n个小曲面S1,S2...,Sn,记分别表示Si在三个坐标轴上的投影区域的面积,在Si上任取一点若首页×存在，则称此极限为函数P,Q,R在曲面S所指定一侧上的第二型曲面积分，也称为对坐标的曲面积分或记作常简记为首页×若令则第二型曲面积分也记作向量形式：由第二型曲面积分的定义，流体以速度从曲面S的负侧流向正侧的总流量首页×称为P在有向曲面S上对坐标y,z的曲面积分;称为Q在有向曲面S上对坐标z,x的曲面积分;称为R在有向曲面S上对坐标x,y的曲面积分;若以-S表示曲面S的另一侧，则由定义可得首页×3、第
4、二型曲面积分的性质⑴⑵若曲面S由两两无公共内点的曲面Sii=1,2,...,n所组成，则首页×定理22.2取上侧,是S上的连续函数,则设光滑曲面三、第二型曲面积分的计算注：积分的计算，必须先将曲面表示成：再代公式计算首页×证∵S取上侧,首页×如果积分曲面S取下侧,则若曲面S是母线平行于z轴的柱面（垂直于xy坐标面则首页×(前正后负)将曲面S表示为若曲面S是母线平行于x轴的柱面（垂直于yz坐标面）则积分的计算方法首页×(右正左负)若曲面S是母线平行于y轴的柱面（垂直于zx坐标面）则积分的计算方法将曲面S表示为首页×解例1计算曲面积分其中S为球面外侧在第一和第五卦限部分.把S分为上下两部
5、分首页×首页×思考首页×例计算其中S是以原点为中心,边长为2的正立方体的整个表面的外侧.解其中S1是S的顶部取上侧S2是S的底部取下侧首页×由对称性，有首页×例计算其中S是由平面x=y=z=0和x+y+z=1所围的四面体表面的外侧.解设S1是取上侧S2是S的底部取下侧在xy坐标面上的投影区域为Dxy先计算积分首页×由对称性首页×例计算其中S是球面取外侧为正向.解设S1是上半球面取上侧S2是下半球面取下侧在xy坐标面上的投影区域先计算积分首页×首页×同理可得所以首页×设光滑曲面S，其指定一侧的法方向余弦为：则沿曲面S指定一侧的曲面积分四、两类曲面积分的联系首页×一般地有其中为曲面S指定
6、一侧的法方向余弦.向量形式其中首页×内容小结1.定义首页×2.性质3.计算设上正下负首页×两类曲面积分的联系:首页×
