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1、第一节CAD建模1.1图形处理技术基础2D图形变换图形变换一般是指将物体的几何信息经过放大、缩小、平移和旋转等几何变换示产生新的图形。它总是与相关的坐标系紧密相连的。从相对运动的观点来看，图形变换既可以看作是图形相对于坐标系的变动，即：坐标系固泄不动，物体的图形在坐标系屮的坐标值发住变化；也可以看作是图形不动，但是坐标系相对于图形发工了变动，从而使得物体在新的坐标系下具冇新的坐标值。通常图形变换只改变物体的几何形状和大小，但是不改变其拓扑结构。基本变换：比例，旋转，平移比例变换比例变换是使图形按在x和y坐标轴方向分别按比例因了S
2、x和Sy放大或缩小的变换。它可以改变图形的大小和形状。设平面上的一个点P的坐标为（x,y,）,经过比例变换示的坐标是（x；y，）,如下图所示,其计算公式为：x'=x・Sxy'=y・sy其屮，Sx和Sy为比例因了。上式可以用矩阵的形式表示为：rnri[SX0_旋转与比例变换不同，旋转变换不改变物体的形状和大小，它是一种刚性变换。设P点的坐标为（x,y）,使P点绕坐标原点逆时针旋转G角（0>0）到达P，点如图3.5所示,其计算公式为:AJ=OPCOS((7+0)=OP(cosacos0-sirasin0)=jvcos0-ysini
3、9cos6sin0-sin0cos/9y1=OPsin(a+0)=OP(sacos0+cosasin0)=兀sin〃+ycos〃点P绕原点旋转0角其矩阵表示法为：=[X.V]=[xcos0-ysin0xsin0+ycos0
4、平移平移变换是将图形对象从一个位置(x,y)移到另一个位置X，y)的变换。如图3.6所示，将矩形沿x轴方向平移如沿y轴方向的平移距离为5。它只改变物体的位置，不改变物体的大小和形状。ya重放@J………口"I:(x.y):平移变换设平面上的一个点P的坐标为(x,y,),经过比例变换后的坐标是(x；y，),如
5、图3.3所示,其计算公式为：X’=X+txy‘=y+ty显然，(3・2・3)式不能象(3・2・1)和(3・2・2)式那样用矩阵的形式表示。为此，我们引入齐次坐标表示法，就是用n+1维向量表示一个n维向量，即n维空间屮的点的位置向量(P
6、,P2，…Pn)被表示为具有n+1个坐标分量的向量(wPi，wP2,...»wPn,w)o例如：二维空间坐标(X,y)的齐次坐标表示为[X,Y,w],则x=X/w,y=Y/w0于是，(3—2—3)式可以用矩阵表式为：_100[xy'l]=[xy1]010TxT、1称为平移变换炬阵。平移总体比例受换
7、二维齐次矩阵表达类似地，旋转变换也可以改写成为炬阵表达式:■cos。—sin0o'，Tr=sinQCOS000■0LS*00s,00利用齐次坐标和变换矩阵，其它儿何变换也都可以用矩阵形式统一表示。此外，通过计算单个变换的矩阵乘积，可以将任意顺序变换的矩阵合并成为组合变换矩阵，从而使问题得到简化。这些内容我们将在下一章中介绍。组合变换由多个基木变换的连续实施而成的父杂变换，乂称基木变换的级连。名称变换矩阵a00T=0d0001等比例100T=01000s平移a——、方向的比例因子丫方向的比例因子s——全图的比例因子L——x方向的平
8、移量m——Y方向的平移量名称变换矩阵图例说明cos8sin60T=-sin&cos8C001■■y0/1:、、X&—旅转角,逆时针为正顾时针为负。变换T=100_c10_ooi_•0YX―►c一沿筋向错切，错切因子，CH0T=11OOIqtOTOOii0X沿'方向错切，“一错切因子，方工0名称变换矩萍图例说明T=OOTO；OTOO11y0匕XI•LJ对X轴的对称变换T=-100_010001yr-i•i■jiiii0占X对Ytt的对称变换7=1OOITOOOIO11y0/〔LX.对+45。轴的对称变换名称变换矩萍图例说明T=■
9、0-1o'-1000010X对-4亍轴的对称变换T=■-10o'0-10001y丿01X对坐标原点的对称变换1.1CAD建模技术1）基本概念建模技术就是如何将现实世界屮的产品将相关信息转化为或表示为计算机内部能够处理、存储和管理的数字化表示方法。儿何建模：几何建模的方法就是将对实体的描述和表达建立在几何信息和拓扑信息处理的基础上的方法。几何建模系统指能够定义、描述、生成几何实体，并能交互编辑的系统。模型一般市数据、数据结构、算法三部分组成。几何信息是指物体在空间的形状、尺寸及位置的描述。儿何信息包括有点、线、面、体的信息，但只用
10、几何信息表示物体并不充分，常会出现物体表示的二义性。拓扑信息指构成物体的各个分量的数目及相互Z间的连接关系。拓扑关系允许三维实体随意地伸张扭曲，对于两个形状和大小不一样的实体的拓扑关系却可能是等价的。典型的例了是立方体和圆柱体的拓扑特性是等价的，如图所示。432
