工程硕士复习.ppt

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1、工程硕士复习上海交通大学应用数学系张忆1第一讲函数极限§1函数一、定义P183例1,为相同的函数。例2设f(x)在（-∞,+∞）有定义，且满足2f(x)+f(1-x)=x2试求f(x)的表达式。即：从得：22yyxxeexeey---=-=与证：令2例3已知:,且求:解：∵∴据题意有又：从而有定义域：即x≤0且写出它的定义域第一讲函数极限3例4如f(x)的定义域为[0，1]，则f(x+a)+f(x-a)定义域[a,1-a]例5求:函数的反函数①②∴反函数解：①-②第一讲函数极限)(0

2、性：f(x)区间I上有定义，为I上任意两点。，如恒有则称f(x)在I上单调增加（减少）设例P536考题62、有界性设函数y=f(x)在区间I上有定义。如存在M>0，使得则称f(x)在区间I上有界，否则称f(x)在I上无界。例P184练习一：3、45第一讲函数极限3、奇偶性：设f(x)的定义域Z关于原点对称，如恒有:f(-x)=f(x)x∈Z，称f(x)为偶函数，图形对称y轴f(-x)=-f(x)x∈Z，称f(x)为奇函数，图形对称原点例1：证明：例2：已知：为奇函数，且当时，求：在时的表达式解：，为奇函数6第一讲函数极限4、周期性设函数f(x

3、)的定义域为X，如存在常数T≠0,使得x∈Z时，必有x±T∈Z,且恒有f()=f(x+T),x∈X,则称f(x)为周期函数,使上式成立的最小正数T为该函数的周期。7第一讲函数极限三、初等函数1、基本初等函数(P183)(1)常函数y=c(-∞，+∞)偶函数;(2)幂函数定义域随u不同而不同,(3)指数函数过（0，1）是指数函数(4)对数函数反函数常用性质()()0,1,0>+¥¥-¹>=xxaaaay8第一讲函数极限(5)三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx常用公式：，，降幂公式：，，例∴

4、的周期为π。9第一讲函数极限(6)反三角函数y=arccosx(-1≤x≤1,0≤y≤π)y=arccotx(-∞

5、和有限次复合而成的并能用一个分析式子表示的函数。13第一讲函数极限§2极限与连续一、数列的极限P1851，2，3，4例设：，且则与A、都收敛于a，B、都收敛，不一定收敛于a，C、可能收敛，可能发散，D、都发散。选A：14第一讲函数极限二、函数极限P186()211lim21lim211=--=+®®xxxxx先看例1极限定义15第一讲函数极限012YX例的变化趋势。时而极限定义中有定义没有关系，因此是否有元极限与函数在说明函数在()xfxx0¹xx0®xx0=xx0=16第一讲函数极限2．函数极限性质（同数列）3．函数极限运算（1）四则运算（

6、2）存在准则同数列（3）复合函数（4）两个重要极限4．无穷小量与无穷大量P18717第一讲函数极限例1在x=0极限是否存在？∵∴解：例2问f(x)在x=2极限是否存在？解：∵存在∴问)f(18第一讲函数极限例3不存在例4不存在解：解：例5例619第一讲函数极限例7例8例9例1020第一讲函数极限例11例1221第一讲函数极限例13例14例1522第一讲函数极限例16已知求解：原式必须分子次数<分母次数例18例1923第一讲函数极限，求之值分母∴当即将∴例20已知解一:原式代入原式并有理化得24第一讲函数极限解二:原式为型，得∴例21已知求解可

7、得即25第一讲函数极限三、连续1、定义(1)(2)在处的连续性}Δyx0+Δxx00y=f(x)xy}Δyx0+Δxx00xy即满足：iii存在I存在ii存在26第一讲函数极限2、基本结论(1)连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数；(2)连续函数复合函数仍连续；(3)初等函数在其有定义的区间内是连续的。(4)单调连续函数的反函数也连续。例1设在（∞，+∞）连续，则a=2则当A=7时f(x)在x=2连续例2设27第一讲函数极限例3在A.、ln2B、0C、2D、任意实数连续，则a=______________例4连续，且A、1B、2

8、C、3D、028例5讨论解：当在定义域内是否连续第一讲函数极限连续在),()(1)()(lim)(limexlnex01)(ex+¥-¥===îíì>£<=+®