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1、论文初初稿范文　　浅说极限概念的两种定义方式极限理论是高等数学的理论基础，极限概念是这一理论中的最基本、最关键的概念，贯穿于高等数学的始终。　　高等数学许多重要概念都可以归结为极限，如导数，积分等都是建立在极限概念基础上的，由此可见，弄清极限的精确概念是学习高等数学的核心所在。　　下面我们就极限的两种定义方式进行研究讨论。　　一、极限的第一种定义方式　　1、数列极限N??定义设{na}为数列，a为定数.如果对任给的正数?，总存在正整数N，使得当n>N时有

2、na—a

3、0(?ε),定义表明了当n在无限增大过程中存在某一“时刻”(?N),只要在这一“时刻”

4、后(?n>N)就可保证所有的na与常数A两者间逼近的精度小于ε(

5、na-A

6、　　对于数列极限的N??定义，要注意理解下面几点1)．?的任意性.定义中的?用来刻划数列{na}与其极限A的逼近程度.为了保证na与A的逼近“精确”，即若数列{na}以A为极限，则应有

7、na-A

8、?0，因此，正数?具有绝对的任意性，?是可以任意选定无论多小的正数.当然?是可以任意大的，但是此时不等式

9、na-A

10、N时有

11、na-A

12、0,若在U(a;?)之外数列{na}中的项只有有限个，设这有限项的最大下标为N，则当n>N时有na?U(a;?)，即当n>N时有

13、na-A

14、1）.分析

15、用数列极限定义证明数列{}na以1为极限，就是对任意给定的正数?，要求去寻找正正数N，使得当n>N时，有

16、1

17、na???成立.证对任意给定的正数?，要使

18、1

19、1nnaa?????，即　　(1)na???.注意到2　　(1)　　(1)12nnnnnn????????????????，因此只要使an??，即an??即可.于是，取[]aN??，则当n>N时，便有

20、1

21、na???或lim1nna???.1.2.数列极限定义的两个等价描述（i）对任意的自然k，总存在自然数N，使得当n>N时，有

22、na-A

23、<1k；（ii）任意?>0,只有有限个na位于（a-?，

24、a+?）之外.证明（i）设limnnaa???，今对任意的自然数k，取?=1k，则存在自然数N，使得当n>N时，有

25、na-A

26、0，总可找到自然数k,使得1kN时，有

27、na-A

28、<1k0，存在自然数N,使得当n>N时，有

29、na-A

30、N时，有na?（a-?，a+?），即有

31、na-A

32、　　3、数列{na}不收敛于a如何用“N??”语言刻划数列{na}不收敛于a的“N??”语言刻划存在0?>0,对于任意的自然数N，总存在0n>N，使得

33、na-A

34、?0?.例2证明数列{　　(1)}n?不收敛.证明对任意常数a<0，若a?0，则对于任意的自然数N，总存在0n=2

35、N+1，使得

36、0　　(1)n?a?

37、=1+a?1.若a<0，则对于任意自然数N，总存在0n=2N,使得

38、0　　(1)n?a?

39、=1?a?1.对照上述刻划即知数列{　　(1)}n?不收敛于a，由a的任意即证得{　　(1)}n?不收敛，证毕.　　2、函数极限的???定义设函数f在点0x的某个空心领域0'0()Ux?；内有定义，A为定数，若对任意给的?>0，存在正数?(<'?)，使得当00

40、

41、xx????时有

42、f(x)?A

43、　　2、如何运用极限定义证明极限用极限定义证明极限，关键就是找合乎条件的?.例3证明22limx?4x?分析对于任意给定的0??，要使

44、2

45、4

46、x???成立，

47、2

48、

49、2

50、xx?????这里不能由

51、2

52、

53、2

54、xx????取

55、2

56、x????，因为

57、2

58、x??中含有变量x，由前面的分析知正数?取的越小，越能保证2

59、4

60、x???成立，故不防先取11??，当11????时，只要

61、2

62、x???，就有

63、2

64、1?x?，此时有

65、2

66、

67、2

68、

69、2

70、4145xxx?????????则

71、2

72、

73、2

74、5

75、2

76、xxx?????那么要使

77、2

78、

79、2

80、xx?????可使5

81、2

82、x???，即取25???，故取12min{,}min{1,}5??????，有2

83、4

84、

85、2

86、

87、2

88、5

89、?2

90、5??5xxxx?????????.本

91、例证明的关键是令1

92、2

93、1x????，后将2

94、4

95、

96、2

97、

98、2

99、xxx?????放大成5

100、2

101、x?这样

102、2

103、x?的系数就变为常数，这就容易由5

104、2

105、x???来确定5???，而且由于放大后的5

106、2

107、x???成立，所以2

108、4

109、x???更成立，但是不能忽略放大的条件

110、2

111、1?x?，所以?应取1与5?之中的较小者例4证明000limx?11(

112、

113、1)xxxx????证由于0

114、

115、1x?，0

116、

117、1x?，因此222xx20

118、

119、

120、11

121、11xxxxxx????????000200

122、

123、

124、

125、2

126、

127、11xxxxxxxx???????于是，对任给的0??（不防设01???）,

128、取xxx????，则当00

129、

130、xx????时，就有220

131、11

132、xx?????.2.　　3、二元函数极限定义