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1、哈密顿量：H=T+V分析力学补充材料拉氏量：L=T−V运动学量一个力学体系广义动量的定义满足:动力学规律∂L1,分析力学的运动学量r为粒子自由度pα=∂q&=pα()q&α⇒q&α=q&α(pα)1，分析力学α2，量子力学广义坐标:q1,q2,…,qα,…,qr∴H(qα,q&α)()⇒Hqα,pα3，驻波广义动量:p1,p2,…,pα,…,pr2,动力学规律q&=∂H注:这里哈密顿α∂pα由经典力学动能T(qα,q&α)势能V(qα)哈密顿正则方程量在形式上必∂H则定义:哈密顿量和拉格朗日量p&α=−∂q须为H(qα,pα)！α3,例:一维线性谐振子广义坐标:x代入哈密顿方
2、程则得量子力学1212动能：T=mx&势能：V=kx∂Hpx运动学量－－算符－－取值只能22x&===x&∂pxm量子力学体系为算符得本征值1212∴H=mx&+kx动力学规律动力学规律22L=1mx&2−1kx2p&=−∂H=−()kx=F1,量子力学的运动学量算符形式：Aˆx弹22∂x∂L例:坐标,动量,角动量,能量,……∴广义动量：pα==mx&=mx&&∂x&=ma基本算符:(位置表象)∴由广义坐标和广义动量表示的哈密顿量为:xˆ=x,ˆy=y,zˆ=z,tˆ=t2px12∂∂∂∂H=+kxpˆx=ih,pˆy=ih,pˆz=ih,Eˆ=ih2m2∂x∂y∂z∂t2)
3、粒子相应的力学量的取值---分立的本征值谱∴角动量算符：L=L(x,p)→L(xˆ,pˆ)=Lˆ2,量子力学的动力学规律xx凡是波函数是其本征函数的力学量,一律取能量算符：H=H(qα,pα)→H(qˆα,pˆα)=Hˆ薛定谔方程:ih∂ϕ=Hˆϕ=Hˆ()qˆ,pˆϕ确定的本征值;αα∂t凡是其他的力学量,其物理取值为本征值的*运动学量的取值—本征方程的本征值—分立的几率平均.薛定谔方程的本征函数:即为波函数ϕ(x,y,z,t)4,例:一维线性谐振子⎧一组本征值Ai21)取广义坐标xAˆϕ=Aϕ⇒⎨波函数的物理意义:ϕ(x,y,z,t)1212⎩一组本征函数ϕi2)系统的动
4、能T=mx&势能V=kx表示粒子在t时刻出现在空间点(x,y,z)附近3)哈密顿量和拉氏量:22若本征值为A1,A2,A3,……单位体积内的几率H=1mx&2+1kx2L=1mx&2−1kx23,量子力学求解的最终图像非决定论2222则运动学量A的取值为A=A1,或A=A2,或A=A3…4)定义广义动量pp=∂L=mx&1)得到粒子的几率分布函数ϕ(x,y,z,t)xx∂x&15)由广义动量和广义坐标表示的哈密顿量为∴决定系统动力学规律的薛定谔方程为：稳定的波－驻波2一，物理意义px12∂H=+kxihψ(x,y,z,t)=Hˆψ(x,y,z,t)2m2∂t在量子力学中，粒子
5、都以几率波的形式存在，若要使粒子在某一空间范围内稳定存在，其几6)过渡到量子力学体系分离变量法:ψ(x,y,z,t)=ϕ(x,y,z)f(t)ˆ2率波必须没有位相和振幅的传播！→=px+1ˆ2⎛h∂21⎞H(px,x)Hˆ(pˆx,xˆ)kx⎜−+mω2x2⎟ϕ=Eϕ=Hˆϕ到目前为止，我们发现的没有位相和振幅传2m2⎧⎜⎝2m∂x22⎟⎠xˆ=x⇒⎨播的波的存在形式只有一种：∂⎩ih∂f(t)=Ef(t)那就是驻波！pˆ=ihx∂x∂t二，物理实现22k其中E为确定的数.以机械波为例，说明驻波的物理特性和存在条件⇒Hˆ=−h∂+1mω2x2(ω2=)12m∂x22m由数学求
6、解:E=hω(n−).n取1，2，3…在机械波中，驻波的构造主要通过相向行波的叠n2加来实现。不失一般性，取两列简谐波：⎛2π⎞⎛2π⎞振幅最大各点为“波腹”，振幅为零各点为“波y1=Acos⎜ωt−x⎟y2=Acos⎜ωt+x⎟节”。各对应以下各点于：⎝λ⎠⎝λ⎠y2π2π叠加后的波即为驻波，波腹：cosx=1x=kπ波函数的标准形式为：t＝0λλλ2πx波腹位置：x=k,(k=0,±1,...)y=2Acosxcosωt2λ2π2ππ波节：cosx=0x=()2k+1λλ2简谐振动振幅t＝T/2λ波节位置：x=()2k+1,(k=0,±1,...)4驻波特点：各点振幅大小
7、不同，且恒定不变。λ振动呈周期性排列，但没有能量和位相的传播！相邻两波节或波腹距离：2波形不前进，但各点仍做简谐振动。物理特性：驻波首次自然地引入了离散取值。2
