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1、信号与系统第四章连续系统的频域分析34.1信号分解为正交函数正交函数与正交矢量具有类似的概念任意矢量可以分解为相互正交的矢量之和，函数亦有类似的结论。xyOvvxvyzyOvvxvzxvy4函数正交在区间(t1,t2)内有两个函数φ1(t)和φ2(t)，若满足则称函数φ1(t)和φ2(t)在区间(t1,t2)内正交。tOφ1(t)12tOφ2(t)125正交函数集正交函数集如果有n个函数φi(t)，i=1,2,…,n构成一个函数集，当这些函数在区间(t1,t2)内满足则称此函数集为在(t1,t2)内的正交函数集。正交信号空间在(t
2、1,t2)内相互正交的n个函数构成正交信号空间。6完备正交函数集在正交函数集{φi(t)，i=1,2,…,n}之外，若不存在函数ψ(t)满足等式则称该函数集为完备正交函数集。函数ψ(t)应满足条件7正交的三角函数集(1)以上这些函数在区间(t0,t0+T)内构成正交函数集。8正交的三角函数集(2)9沃尔什函数ttttt11111110复函数的正交若复函数集{φi(t)，i=1,2,…,n}在区间(t1,t2)内满足则称该复函数集为正交函数集。复函数集{ejnΩt，n=…,-2,-1,0,1,2,…}在区间(t0,t0+T)内为完备
3、的正交函数集，即11信号分解为正交函数设正交函数集{φi(t)，i=1,2,…,n}在区间(t1,t2)内构成正交函数空间。用这n个函数的线性组合去逼近信号f(t)：由此带来的均方误差为12使均方误差最小(1)13使均方误差最小(2)14计算均方误差15均方误差分析正交函数的项数n越大，均方误差越小。当n趋于无穷时，均方误差为零，即：帕塞瓦方程函数的分解164.2傅里叶级数周期信号的定义区间：(–∞，∞)周期信号的定义：f(t)=f(t+mT)m为任意整数；T为周期，其倒数为频率。周期信号可在一个周期内展开成完备正交信号空间中的无
4、穷级数：若构成完备正交信号空间的函数集为三角函数集或复指数函数集，则展开的级数为傅里叶级数。17周期信号的分解周期为T的周期信号f(t)可分解为傅里叶级数：18傅里叶系数傅里叶系数为n和Ω的函数。Ω称为角频率系数an为n的偶函数，即系数bn为n的奇函数，即19三角形傅里叶级数的另一种形式(1)将同频率项合并：上式中20三角形傅里叶级数的另一种形式(2)于是，三角形傅里叶级数的另一种形式为上式中幅度An为n的偶函数，即相位φn为n的奇函数，即21周期正方波信号的傅里叶级数(1)22周期正方波信号的傅里叶级数(2)23周期正方波信号的
5、傅里叶级数(3)24周期正方波信号的傅里叶级数(4)25周期正方波信号的傅里叶级数(5)26偶函数的傅里叶级数(1)27偶函数的傅里叶级数(2)28偶函数的傅里叶级数(3)29偶函数的傅里叶级数(4)30奇函数的傅里叶级数(1)31奇函数的傅里叶级数(2)32奇函数的傅里叶级数(3)33奇函数的傅里叶级数(4)34任意函数分解为偶函数与奇函数之和(1)35任意函数分解为偶函数与奇函数之和(2)36奇谐函数（半波对称）的傅里叶系数对于奇谐函数，傅里叶级数展开中只含有奇次谐波分量，而所有偶次谐波分量均为零，即37正方波为奇谐函数38傅
6、里叶级数的指数形式39傅里叶级数的指数形式上式中，40指数形式傅里叶级数的系数指数形式傅里叶级数例如:42周期矩形脉冲43周期矩形脉冲的傅里叶级数系数444.3周期信号的频谱周期信号可分解为一系列正弦信号之和周期信号也可一系列虚指数信号之和幅度频谱：以频率或角频率为横坐标，以各谐波幅度为纵坐标过程的图，称为幅度频谱。相位频谱：以频率或角频率为横坐标，以各谐波相角为纵坐标过程的图，称为相位频谱。45频谱图46周期矩形脉冲47周期矩形脉冲的傅里叶级数及频谱图48脉冲宽度与频谱的关系49周期与频谱的关系50周期信号的频谱小结周期信号的频
7、谱是离散的，间隔为Ω，频谱过零点。在处，频谱过零点。频带宽度零频率到第一个零点处的频率宽度，称为频带宽度。频谱与τ的关系（T保持不变）τ变小，则频带宽度变大，变小，间隔不变。频谱与周期T的关系（τ保持不变）T变大，则频宽不变，变小，间隔变小。51周期信号的平均功率52帕塞瓦恒等式由于且 为n的偶函数，故有该等式称为帕塞瓦恒等式，它表明，在时域中求得的信号功率与在频域中求得的信号功率恒相等。534.4非周期信号的频谱当T→∞时，离散谱变为连续谱，各频率分量趋于无穷小，但相互之间的比例关系不变。54频谱密度频谱密度由傅里叶级数系数到
8、频谱密度由傅里叶级数到傅里叶积分55傅里叶变换的定义傅里叶变换、分析傅里叶逆变换、综合傅里叶变换对56频谱密度函数的其他表示形式极坐标表示实部虚部表示57傅里叶逆变换的三角函数表示58傅里叶变换存在的充分条件59门函数60门函数的傅里叶变换61门函
