高等数学课件--D9_6几何中的应用.ppt

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1、二、空间曲线的切线与法平面第六节一、一元向量值函数及其导数三、曲面的切平面与法线多元函数微分学的几何应用第九章10/1/2021同济版高等数学课件一、一元向量值函数及其导数引例:已知空间曲线的参数方程:的向量方程对上的动点M,即是此方程确定映射,称此映射为一元向量的终点M的轨迹,此轨迹称为向量值函数的终端曲线.值函数.要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性，就需要引进向量值函数的极限、连续和导数的概念.10/1/2021同济版高等数学课件定义:给定数集DR,称映射为一元向量值函数（简称向量值函数）,记为定义域自变量因变量向量

2、值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、连续和导数密切相关,进行讨论.极限：连续：导数：严格定义见P91因此下面仅以n=3的情形为代表10/1/2021同济版高等数学课件向量值函数的导数运算法则:(P91)设是可导向量值函数,是可导函数,则C是常向量,c是任一常数,10/1/2021同济版高等数学课件例1.设解：10/1/2021同济版高等数学课件向量值函数导数的几何意义:在R3中,设的终端曲线为,切线的生成点击图中任意点动画开始或暂停表示终端曲线在t0处的切向量,其指向与t的增长方向一致.,则设10/1/2021同济版高等数学课

3、件向量值函数导数的物理意义:设表示质点沿光滑曲线运动的位置向量,则有速度向量：加速度向量：10/1/2021同济版高等数学课件例2.设空间曲线的向量方程为求曲线上对应于解:的点处的单位切向量.故所求单位切向量为其方向与t的增长方向一致另一与t的增长方向相反的单位切向量为=610/1/2021同济版高等数学课件例3.一人悬挂在滑翔机上,受快速上升气流影响作螺求旋式上升,其位置向量为(1)滑翔机在任意时刻t的速度向量与加速度向量;(2)滑翔机在任意时刻t的速率;(3)滑翔机的加速度与速度正交的时刻.解:(1)(3)由即即仅在开始时刻滑

4、翔机的加速度与速度正交.10/1/2021同济版高等数学课件二、空间曲线的切线与法平面过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.置.空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限位给定光滑曲线在点法式可建立曲线的法平面方程利用点M(x,y,z)处的切向量及法平面的法向量均为点向式可建立曲线的切线方程10/1/2021同济版高等数学课件1.曲线方程为参数方程的情况因此曲线在点M处的则在点M的导向量为法平面方程给定光滑曲线为0,切线方程10/1/2021同济版高等数学课件例4.求曲线在点M(1,1,1)处的切线方程与法平面方程.解

5、：点(1,1,1)对应于故点M处的切向量为因此所求切线方程为法平面方程为即思考:光滑曲线的切向量有何特点?答:切向量10/1/2021同济版高等数学课件2.曲线为一般式的情况光滑曲线曲线上一点,且有可表示为处的切向量为10/1/2021同济版高等数学课件则在点切线方程法平面方程有或10/1/2021同济版高等数学课件也可表为法平面方程(自己验证)10/1/2021同济版高等数学课件例5.求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程解法1令则即切向量10/1/2021同济版高等数学课件法平面方程即解法2方程组两边对x

6、求导,得曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得10/1/2021同济版高等数学课件切线方程即法平面方程即点M(1,–2,1)处的切向量10/1/2021同济版高等数学课件三、曲面的切平面与法线设有光滑曲面通过其上定点对应点M,切线方程为不全为0.则在且点M的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为在该点的切平面.上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.10/1/2021同济版高等数学课件证:在上,得令由于曲线的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.10/1/2021同济版高等数学课件曲面

7、在点M的法向量:法线方程切平面方程过M点且垂直于切平面的直线称为曲面在点M的法线.10/1/2021同济版高等数学课件曲面时,则在点故当函数法线方程令特别,当光滑曲面的方程为显式在点有连续偏导数时,切平面方程法向量10/1/2021同济版高等数学课件法向量用将法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,复习10/1/2021同济版高等数学课件例6.求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:令所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程即法线方程法向量即(可见法线经过原点，即球心)10/1/2021

8、同济版高等数学课件例7.确定正数使曲面在点解:二曲面在M点的法向量分别为二曲面在点M相切,故又点M在球面上,于是有相切.与球面,因此有10/1/2021同济版高等数学课件1.空间曲线的切线与法平面切线方程法平面方程1)